Cómo demostrar que el conjunto de $n \times m$ matrices de rango máximo $k \lt min\{m, n\}$ no es un espacio lineal?

Question

¿Puede alguien ayudarme con esta prueba? ¿Cómo es el rango de una matriz siendo $\lt \min\{\mathrm{row}, \mathrm{column}\}$ ¿hacer que no sea un espacio vectorial?

Answer 1

No es un espacio vectorial lineal, porque se pueden combinar linealmente sus elementos para obtener una matriz de este conjunto (es decir, cuyo rango es mayor que $min\{row, column\}$ .

Puedes hacerlo de forma muy trivial, busca el conjunto de las matrices que son en todas partes zer0, excepto un único elemento que es 1. Su rango es obviamente 1, por lo que están todas en tu conjunto.

Con la combinación lineal, puede crear todos los $\mathrm{row} \times \mathrm{column}$ matriz de ellos.

Algunas (de hecho, casi todas) de estas matrices tendrán un rango de $\ge min\{row, column\}$ .

Q.E.D.

_{P.d. Como el rango máximo de un $n \times m$ matriz es $\min{m,n}$ Estamos hablando de igualdad.}