Supongamos que hay algunas matrices. Cada matriz en el conjunto deben de viajar con otra en el conjunto.
¿Cuáles son las condiciones obligatorias para esto?
Respuestas
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Lyra
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A través de una algebraicamente cerrado de campo, si una familia de matrices conmutan pares, a continuación, que son al mismo tiempo triangularizable. Como Robert Israel señaló en los comentarios, el recíproco no es cierto.
Esto se generaliza a diagonalizable matrices, es decir, una familia de diagonalizable matrices conmutan pares si y sólo si son simultáneas diagonalizable. Esta condición es si y sólo si.
Estos son los resultados más comunes en los desplazamientos de las matrices.
Stephan Aßmus
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Hay una peculiar condición que hace esto. Si cada matriz en el conjunto es un polinomio o, de hecho, la analítica de la función de matriz $A$ (que no tiene que estar en el set), todos ellos de viaje, desde un poder de $A$ viajes con otro poder de $A.$ Sobre los reales esto incluye artículos tales como $e^A.$
Creo que es poco probable que uno puede encontrar como un $A$ para cada conjunto para que cada par de matrices conmutan. Es solo una linda idea.
GmonC
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Voy a tratar de reformular la respuesta Se Jagy un poco más explícitamente, y añadir algo más de detalle.
La caracterización de todos los conjuntos de matrices que conmutan (excepto por la condición de que se conmute) no será fácil, debido a que, dado cualquier conjunto de matrices que conmutan (y hay, sin duda este tipo de series que son infinitas), que cualquier subconjunto de que también va a ser un conjunto de matrices que conmutan. Por lo que es más provechoso para pedir la máxima de desplazamientos de los conjuntos de matrices, conjuntos para el que no hay nada fuera del conjunto de viajes con todos ellos (porque uno podría, a continuación, añadir una matriz).
Ahora, dado cualquier conjunto de matrices que conmutan, siempre podemos tomar múltiplos escalares de uno de ellos, o la suma de varios de ellos, para obtener otro tipo de matrices que conmutan con todos ellos; por lo tanto, una máxima del conjunto de los desplazamientos de las matrices debe ser un subespacio del espacio vectorial de todas las matrices (es decir, es cerrado bajo las combinaciones lineales). Por otra parte, también debe ser cerrado bajo productos de matrices (el término técnico es que debe ser una subalgebra de la álgebra de todas las matrices cuadradas). Dada cualquier matriz $A$, el más pequeño subalgebra que contiene $A$ es el conjunto de polinomios en $A$, las combinaciones lineales de las potencias $A^i$, incluyendo a $A^0=I_n$.
Corrección escribí aquí antes de que cada máxima conmutativa subalgebra tiene dimensión $n$ y es el conjunto de polinomios en una matriz (yo pensaba que esto estaba implícito por la respuesta por Voluntad Jagy, pero claramente no lo es, y pensé que me podría dar un poco de argumento complicado para ti, pero no puedo). Esto es no es cierto. De hecho, hay un $5$-dimensiones conmutativa subalgebra de $M_4(K)$ de las matrices de la forma $$ \begin{pmatrix}x&0&a&b\\0&x&c&d\\0&0&x&0\\0&0&0&x\end{pmatrix} $$ y para la dimensión razones por las que no puede ser el conjunto de polinomios de cualquier matriz.
Una pregunta para la cual no sé la respuesta es dos matrices que conmutan $X,Y$ siempre se expresa como polinomios de tercer matriz $A$? Inicialmente se pensó que, inspirada en la de arriba, que $$ X=\begin{pmatrix}0&0&1&0\\0&0&0&1\\0&0&0&0\\0&0&0&0\end{pmatrix},\qquad Y=\begin{pmatrix}0&0&1&0\\0&0&0&-1\\0&0&0&0\\0&0&0&0\end{pmatrix}, $$ proporciona una respuesta negativa; sin embargo, resulta que para $$ A=\begin{pmatrix}1&0&1&0\\0&0&0&1\\0&0&1&0\\0&0&0&0\end{pmatrix} $$ (que no en la conmutativa subalgebra de arriba) uno ha $Y=A(A-I)=A^2-A$$X=A(A-I)(2A-I)=2A^3-3A^2+A$.
