Ergodicidad vs. Mezcla débil

Question

He tratado de probar lo siguiente:

Dejemos que $(\Omega,\mathcal{F})$ sea un espacio medible dotado de una medida de probabilidad $\mathbb{P}$ . Supongamos que $\tau : \Omega \to \Omega$ es una transformación que preserva la medida, es decir $\forall A \in \mathcal{F}$ , $\mathbb{P}(\tau^{-1}A) = \mathbb{P}(A)$ .

Demostrar que $\tau$ -si para cualquier medida $A,B$ \begin{equation} \frac{1}{n} \sum_{k=0}^{n-1} \mathbb{P}[A \cap \tau^{-k}B] \rightarrow \mathbb{P}[A] \mathbb{P}[B] \end{equation}

Arriba, $\tau$ -ergódico significa para cada $E$ con propiedad $E = \tau^{-1}E$ , $\mathbb{P}[E] = 0 $ o $1$ .

He demostrado que si la afirmación dada (también conocida como mezcla débil) se mantiene, entonces $\tau$ es efectivamente ergódica. Sin embargo, no pude demostrar la otra dirección, lo hice cuando $A$ es un $\tau$ -invariante pero no pudo extenderse al caso general. No estoy 100% seguro de que la afirmación sea correcta. ¿Alguna prueba o contraejemplo? Se agradece cualquier ayuda.

P.D.: Perdón si algo está mal en mi notación, soy muy nuevo en la teoría ergódica.

Answer 1

En primer lugar, permítanme señalar que la mezcla débil es algo diferente, de hecho más fuerte que la ergodicidad.

Para la otra dirección, tenga en cuenta que $$ \begin{split} \mathbb P(A)\mathbb P(B) &=\mathbb P(A)\int_\Omega 1_B\,d\mathbb P\\ &=\int_\Omega\mathbb P(A)1_B\,d\mathbb P\\ &=\int_\Omega\lim_{n\to\infty}\frac1n\sum_{k=0}^{n-1}(1_A\circ \tau^k) 1_B\,d\mathbb P\\ &=\lim_{n\to\infty}\frac1n\sum_{k=0}^{n-1} \int_\Omega 1_{\tau^{-k}A\cap B}\,d\mathbb P, \end{split} $$ utilizando la convergencia dominada en la última identidad. Por lo tanto, $$ \mathbb P(A)\mathbb P(B)=\lim_{n\to\infty}\frac1n\sum_{k=0}^{n-1}\mathbb P(\tau^{-k}A\cap B). $$