Atascado con la identidad de teoría de números sobre la función divisor.

Question

Entonces tengo que demostrar que $$\sum_{m=1}^{n} \sigma (m) = \sum_{k=1}^{n} k \cdot \big[\frac{n}{k}\big]$$ donde $\sigma$ es la función divisor para x = 1 y [n] es la función piso de n, por ejemplo [2.4] = 2. Intenté algo alrededor de la inducción para resolver este problema, pero la n en la función piso me está dando problemas al hacerlo. Otros intentos que hice fue reescribir la parte derecha como $$ \sigma_0(n) \cdot n + \sum_{d \nmid n,0 pero eso tampoco ayuda mucho ya que no veo o no sé una relación entre $\sigma_0 \text{ y } \sigma_1$. Cualquier consejo sería apreciado. Aún me gustaría resolverlo por mi cuenta basándome en algunos consejos, pero en este momento estoy atascado

Answer 1

Tenemos $\sigma(m)=\sum_{d|m}d$ entonces $$ \sum_{m=1}^n\sigma(m)=\sum_{m=1}^n\sum_{d|m}d=\sum_{d=1}^nd\sum_{d|m}1=\sum_{d=1}^nd\left\lfloor\frac{n}{d}\right\rfloor $$ porque hay $\left\lfloor\frac{n}{d}\right\rfloor$ múltiplos de $d$ en $[\![1,n]\!]$.

Answer 2

Ilustración:

Para $n=6$

Hay un valor de $k$ en la tabla siguiente si y solo si $k\mid m$. Si sumas hacia abajo en las columnas, obtienes $\sigma(m)$ para cada columna. Si lees a través de las filas, ves con qué frecuencia se usa $k$ como divisor.

Entonces la suma de las sumas de las filas es igual a la suma de las sumas de las columnas para ilustrar tu identidad.

$$\begin{array}{l|cccccc|c}k\;\:\backslash \;\; m&1&2&3&4&5&6& k\cdot \left\lfloor\frac{n}{k} \right\rfloor \\\hline 1&1&1&1&1&1&1&6\\ 2&&2&&2&&2&6\\ 3&&&3&&&3&6\\ 4&&&&4&&&4\\ 5&&&&&5&&5\\ 6&&&&&&6&6\\\hline \sigma(m)&1&3&4&7&6&12 & \sum\sigma(m)=\sum k\cdot \left\lfloor\frac{n}{k} \right\rfloor \end{array}$$