Cohomología de la esfera $S^{n}$ con coeficientes en el grupo abeliano $G$

Question

Lo hago con la secuencia larga exacta del par $(D^{n}/\partial D^{n})$ .

Para $n >0$ utilizando el hecho de que $(D^{n},\partial D^{n})$ es un buen par que tenemos $H^{i}(D^{n},\partial D^{n};G)\simeq \tilde{H^{i}}(D^n/\partial D^n;G)\simeq\tilde{H^{i}}(S^n;G)$ y el hecho de que $D^n$ es contraíble, una parte de la secuencia exacta larga da como resultado

$0 \leftarrow \tilde{H^{i}}(S^n;G) \leftarrow \tilde{H}^{i-1}(S^{n-1};G)\leftarrow 0$

Esto da los isomorfismos $\tilde{H^{i}}(S^n;G) \simeq \tilde{H}^{i-1}(S^{n-1};G)$ para $i >0$ .

Calculo $\tilde{H}^{0}(S^{0},G)$ utilizando el hecho de que $\tilde{H}^{0}(X,G)$ puede describirse como el grupo de todas las funciones que son constantes en los componentes de la trayectoria, modulando las funciones que son constantes en todos los $X$ Denoto este espacio por $F_{X}$ . En el caso $S^{0}=\{-1,1\}$ el mapa $\varphi:F_{S^{0}} \rightarrow G$ dado por $\varphi(f)=f(1)-f(-1)$ es suryente con el núcleo de las funciones constantes en $S^{0}$ por lo que dará un isomorfismo de $\tilde{H}^{0}(S^{0},G)$ con $G$ .

Esto me da $G \simeq \tilde{H}^{0}(S^{0},G) \simeq \tilde{H}^{1}(S^{1},G) \simeq \tilde{H}^{2}(S^{2},G)\simeq ...$

Tengo problemas para mostrar que $H^{k}(S^{n},G)=0$ para todos $n \neq k$ . Está bastante claro, pero ¿hay una forma bonita de escribir esto?

Answer 1

Utiliza secuencias largas y exactas y ve por inducción. Has hecho el caso base. Para calcular los grupos de cohomología de $\mathbb{S}^{n+1}$ , utilice la secuencia exacta larga en cohomología para el par bueno $(\mathbb{D}^{n+1},\partial(\mathbb{D}^{n+1})\cong\mathbb{S}^n)$ . A partir de $H^{k-1}(\mathbb{S}^{n})$ obtenemos: \begin{align*} \dots\to H^{k-1}(\mathbb{S}^n)\to H^k(\mathbb{S}^{n+1})\to H^k(\mathbb{D}^n)\to H^{k}(\mathbb{S}^n)\to H^{k+1}(\mathbb{S}^{n+1})\to\dots \end{align*} En este caso, utilizamos el hecho de que como $(\mathbb{D}^{n+1},\mathbb{S}^n)$ es un buen par su cohomología es isomorfa a la de $\mathbb{D}^{n+1}/\mathbb{S}^n$ que es $\mathbb{S}^{n+1}$ . Por la hipótesis inductiva y el hecho de que la cohomología de un disco es sólo la de un punto, esto nos da la secuencia (donde $k<n-1$ ) \begin{align*} \dots\to 0\to H^k(\mathbb{S}^{n+1})\to 0\to 0\to H^{k+1}(\mathbb{S}^{n+1})\to\dots \end{align*} Así que, $H^{k}(\mathbb{S}^{n+1})=0$ también. La LES para $H^{n}$ es ligeramente diferente, pero intente escribir la LES y debería obtener el mismo resultado.