Extensión de funciones estrictamente plurisubarmónicas en una variedad de Kähler

Question

Me preguntaba, supongamos que tengo un colector Kähler no compacto $M$ y supongamos que fuera de algún subconjunto compacto $A\subset M$ existe una función suave $f:M\backslash A\longrightarrow\mathbb{R}$ tal que $i\partial\bar{\partial}f>0$ . ¿Siempre es posible encontrar una función suave $h:M\longrightarrow\mathbb{R}$ tal que $h|_{M\backslash A}=f$ y $i\partial\bar{\partial}h>0$ en el conjunto de $M$ ? Si no es así en general, ¿existen condiciones suficientes para $M$ que me permita hacer esto? Muchas gracias.

Answer 1

Resulta instructivo conocer el caso de las métricas de Kahler invariantes bajo la acción de los toros. En este caso, su pregunta se convierte en una cierta pregunta (no trivial) sobre las funciones convexas.

Recordemos primero que la métrica de Kahler en $(\mathbb C^*)^n$ invariante bajo la acción de $(S^1)^n$ tienen un potencial global que viene dado por una función convexa $F$ en $\mathbb R^n$ . Aquí $\mathbb R^n$ se identifica con el cociente

$(\mathbb C^*)^n/(S^1)^n$ y tomamos las coordenadas $log|z_i|$ en $\mathbb R^n$ . Así que podemos traducir su pregunta original de la siguiente manera

QESTION. Supongamos que tenemos una función convexa suave $F$ definido en $\mathbb R^n$ exterior compacto $\Omega$ . ¿Es posible ampliar $F$ a una función convexa suave sobre el conjunto $\mathbb R^n$ ?

Es fácil construir un ejemplo de un no-convexo $\Omega$ en $\mathbb R^2$ con convexidad $F$ definido en $\mathbb R^2\setminus \Omega$ para que $F$ no se puede ampliar. Por el momento no veo cómo hacer tal ejemplo cuando $\Omega$ es el disco de unión, pero parece plausible que existan esos ejemplos.

Answer 2

No, en general.

Una razón trivial es que $f$ puede no extenderse a una función suave en una vecindad de $\overline{M\setminus A}$ pero se puede evitar fácilmente pidiendo que $f$ Estoy de acuerdo con $h$ en un dominio ligeramente más pequeño que $M\setminus A$ .

Una razón no trivial es que la 2 forma $\omega=i \partial \bar{\partial} h$ sería una forma exacta de Kähler. Debido al teorema de Stokes, una variedad compleja sólo puede soportar dicha forma si no tiene submanifolds complejos compactos de dimensión positiva. Por ejemplo, $M=\mathbb{C P}^2 \setminus pt.$ no lo hace, por lo que no hay una extensión psh para $M$ del potencial de Kähler $f$ para la métrica de Fubini-Study en $\mathbb{C P}^2 \setminus (\mathbb{CP}^1\cup pt.)$ .

Para obtener más información sobre las funciones psh, pruebe el libro de Demailly:

http://mathonline.andreaferretti.it/books/view/19/Complex-analytic-and-algebraic-geometry

Answer 3

Si una variedad compleja tiene una función estrictamente plurisubarmónica, entonces no puede contener Esto es claramente una condición necesaria. Así que puedes empezar a considerar tu pregunta sobre las variedades de Stein.