Incongruencia de Omega y falta de completitud de Omega

Question

Así que, recientemente estaba leyendo Godel, Escher y Bach y me encontré con estos términos y no estoy muy seguro de la diferencia entre ellos y es mi humilde petición si alguien puede explicar estos términos no en el sentido Hofstadteriano.

Answer 1

ω-inconsistente :

Una teoría $T$ con "suficiente capacidad expersiva" como para poder demostrar los axiomas básicos de los números naturales es ω-inconsistente si, para alguna fórmula $P(x)$ en la lengua de $T$ , $T$ prueba $P(0), P(1), P(2), \ldots$ (es decir, para cada número natural $n$ : $T \vdash P(n)$ ), pero $T$ también demuestra que hay algún número natural $k$ (necesariamente no estándar ) tal que $P(k)$ no se sostiene.

ω-incompletitud :

Una teoría $T$ (como arriba) es ω-incompleto si, para alguna fórmula $P(x)$ en la lengua de $T$ , $T$ prueba $P(n)$ para cada número natural $n$ pero $T$ no demuestra $∀x P(x)$ (es decir $T \nvdash ∀x P(x)$ ).