espacio de geodésicas

Question

Hola,

Tengo el siguiente problema: Sea $(M,g)$ sea una variedad riemanniana compacta con métrica $g$ y $\nabla$ sea la Conexión Levi-Civita. Denotemos por $G(M) =$ { $\gamma: \mathbb{R} \rightarrow M | \gamma \text{ is a geodesic } $ } el espacio de geodésicas en $M$ con respecto a $\nabla$ . Tiene $G(M)$ entonces la estructura de un colector? Y si es así, ¿tiene una dimensión finita? En caso negativo, ¿qué se puede hacer para convertirlo en un colector de dimensión finita? ¿O pueden darme alguna referencia para leer? Espero las respuestas y gracias de antemano.

marco

Answer 1

Querido Marco,

Si se toman geodésicas no parametrizadas (el cociente del haz de la coesfera unidad por la acción del flujo geodésico), aquí hay una respuesta:

El espacio de geodésicas de una variedad riemanniana o incluso de Finsler de dimensión $n$ es a su vez un colector de dimensión $2n - 2$ en una serie de casos especiales, aunque importantes. Por ejemplo, el espacio de geodésicas de cualquier espacio simétrico de rango uno (el espacio euclidiano, el espacio hiperbólico, la esfera, los espacios reales, complejos, cuaterniónicos, el plano de Cayley, el espacio hiperbólico complejo) es una variedad. Otros ejemplos menos estándar son los colectores de Zoll, los colectores de Hadamard o cualquier vecindad convexa de un espacio de Riemann o de Finsler.

Cuando el espacio de las geodésicas es una variedad, lleva una estructura simpléctica natural heredada por reducción simpléctica del haz de la coesfera unitaria de la métrica de Riemann o de Finsler. Las familias de geodésicas normales a los submanifolds inmersos son submanifolds lagrangianos inmersos en el espacio de geodésicas (un resultado que se remonta a la obra de Hamilton Teoría de los sistemas de rayos , posiblemente el primer artículo sobre geometría simpléctica). En particular, los puntos de la variedad corresponden a esferas lagrangianas en el espacio de las geodésicas (es decir, toda geodésica que pasa por un punto es una esfera lagrangiana). Utilizando estas esferas y la estructura simpléctica se puede reconstruir fácilmente la métrica (véase el artículo La geometría simpléctica y el cuarto problema de Hilbert , Journal Diff. Geom. Volumen 69, Número 2 (2005) para esto y como referencia para todo lo demás que escribo aquí).

Para concretar, he aquí algunos ejemplos:

$\bullet$ El espacio de geodésicas del espacio euclidiano o hiperbólico n es simplectomorfo a la cotangente de la $n-1$ -Esfera.

$\bullet$ El espacio de geodésicas de la $n$ -esfera o la $n$ -espacio proyectivo real es simplectomorfo a una cuádrica compleja = el Grassmannian de dos planos orientados en ${\mathbb R}^{n+1}$

$\bullet$ El espacio de geodésicas del espacio proyectivo complejo ${\mathbb CP}^n$ es simplectomorfo al espacio de 1-2 banderas (punto-línea) en ${\mathbb CP}^n$

El espacio de geodésicas puede heredar una estructura adicional de la estructura de la variedad: por ejemplo, Hitchin examina la estructura compleja del espacio de geodésicas de ${\mathbb R}^3$ para estudiar los monopolos y las superficies mínimas en Monopolos y geodésicas , Com. Math. Volumen 83, Número 4 (1982), 579-602.

Si quiere referencias adicionales, consulte mi documento JDG o mi tesis de 1995 ( La geometría simpléctica de los espacios de geodésicas ) que encontrará en la web.

Answer 2

Marco, ¿te refieres al espacio de geodésicas parametrizadas (de longitud constante) o al espacio de las geodésicas. En el primer caso se obtendría el haz tangente, como dijo Ryan. El segundo caso es en general más complicado, y creo que no obtendrás una estructura de colector agradable en ese espacio en general. Bonito significaría, por ejemplo, que la proyección desde el haz tangente (espacio de geodésicas parametrizadas de longitud constante) al espacio de geodésicas es una inmersión. Este no es el caso de un toro plano. Más generalmente, no es el caso cuando existe una geodésica $\gamma$ tal que el cierre de la imagen de su curva tangente $\gamma'$ no es la imagen en sí. No estoy seguro de esto, pero supongo que siempre será así en las variedades compactas, ya que no todas las geodésicas son cerradas.

Pero si se supone, por ejemplo, que se tiene curvatura negativa en una variedad simplemente conectada, se obtiene una bonita estructura de la variedad, como puede verse en la teoría de los campos de Jacobi para las geodésicas.

Answer 3

Para un espacio pseudo-riemanniano simplemente conectado de curvatura constante o un espacio simétrico riemanniano de rango uno (que no sea el plano hiperbólico del octonión) la respuesta es sí, y se puede encontrar en http://arxiv.org/abs/0911.2602

Answer 4

Para ampliar el comentario de Ryan Budney, las geodésicas de $(M,g)$ son la proyección sobre la base $M$ de las curvas integrales del campo vectorial $S_g$ en $TM.$

$S_g$ es el único campo vectorial en $TM$ que es al mismo tiempo:

especial (es decir, representa una $2^\textrm{nd}$ -pedir edo en $M$ o equivalentemente sus curvas integrales son el levantamiento tangencial de su proyección sobre la base) y

horizontal (es decir, es una sección de la distribución horizontal en $TM$ .)

Porque $S_g$ es un spray (es decir $\mathcal{L}_Z S_g=S_g,$ donde $Z$ es el vector de Euler archivado), se llama el spray geodésico de $(M,g).$

Se puede realizar incluso que $S_g$ es el campo vectorial hamiltoniano de la energía cinética $K_g:v\in TM\to\tfrac{1}{2}g(v,v)\in\mathbb{R}$ con respecto al retroceso a través de $g^\flat$ de la forma simpléctica canónica en $T^\ast M.$

Así que $S_g$ preserva los haces de esferas, y obtenemos que si $M$ es compacto, entonces $S_g$ está completo.

A través del flujo de $S_g,$ sus curvas integrales (que son el levantamiento tangencial de su proyección sobre la base) se identifican con $TM$ .