Distancias a la línea que pasa por el centro del triángulo

Question

Dejemos que $p$ sea una línea que pasa por el centroide de un triángulo $ABC$ . A menos que la línea pase por un vértice, entonces $2$ verices están a un lado de la línea, mientras que la tercera está al otro lado. Sin pérdida de generalidad, dejemos que los vértices $A$ y $C$ sea un lado, mientras que el vértice $B$ estar al otro lado de la línea. Sea $x,y,z$ sean las distancias de los vértices $A,B,C$ a la línea $p$ . Demostrar que $x + z = y$

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He intentado algo, pero no he hecho ningún progreso. Si multiplicamos ambos lados de la igualdad por $\frac{\overline{XY}}{2}$ Entonces tenemos que demostrar:

$$P_{BXY} = P_{AXY} + P_{CXY} \iff \frac{XB \cdot BY \cdot \sin \angle XBY}{2} = \frac{XA \cdot AY \cdot \sin \angle XAY}{2} + \frac{XC \cdot CY \cdot \sin \angle XCY}{2} \iff XB \cdot BY = XA \cdot AY + XC \cdot CY$$

Pero esto es lo máximo que consigo.

Answer 1

Dejemos que $F$ el punto medio del segmento de línea $AC$ . Sabemos que $F$ se encuentra en $BM$ porque $M$ es el centroide. Sea $G$ sea el punto de intersección de $p$ y la perpendicular a $p$ a través de $F$ . No es difícil ver que $$ |FG|=\frac{|AI|+|CJ|}2 $$ aunque ahora mismo no puedo ver una prueba sencilla y bonita de ello. (He encontrado una, ver más abajo) Porque $M$ es el centroide, sabemos que $|BM|=2|MF|$ . Ahora, tenemos que $\triangle BMH\sim\triangle FMG$ por la igualdad de ángulos en las líneas paralelas. De ello se deduce que $$ \frac{|FG|}{|BH|}=\frac{|FM|}{|BM|}=\frac 12 $$ Combinando esto con la ecuación encontrada anteriormente, obtenemos que $|AI|+|CJ|=|BH|$ de hecho.

EDITAR
Para mostrar la primera igualdad, puedes mirar los triángulos con lados $AF$ y $CF$ partes de la línea a través de $F$ en paralelo a $p$ y las partes correspondientes de la perpendicular que pasa por $A$ y $C$ en $p$ . Los dos triángulos que se obtienen son congruentes, por lo que las longitudes del exceso en $A$ y la escasez en $C$ son los mismos.