Expectativa condicional y suma de variables aleatorias

Question

Dejemos que $Y, X_1, . . . , X_n$ sean variables aleatorias continuas (no necesariamente independientes) con rango no negativo, es decir $P(Y < 0) = 0$ y $P(X_i < 0) = 0$ para $i = 1 \ldots n$ verificando la siguiente propiedad relativa a la expectativa condicional:

(1) $E[Y | X_1 + ... + X_n = u] \geq E[Y | X_1 + ... + X_n = v]$

para reales positivos arbitrarios $u \geq v$ . ¿Hay alguien que pueda demostrar que (1) implica

(2) $E[Y | X_1 = w] \geq E[Y | X_1 = z]$

para reales positivos arbitrarios $w \geq z$ ? También se agradecería un contraejemplo que demuestre que no siempre es así.

Answer 1

Dejemos que $Y=X_2+X_3+X_4$ . He aquí un contraejemplo:

Dejemos que $X_1=-X_2=X_3=X_4$ . Entonces $E[X_1\mid Y]=Y$ es una función creciente de $Y$ mientras que $E[X_1\mid X_2]=-X_2$ es una función decreciente de $X_2$ .

Si las variables aleatorias deben ser positivas, dejemos que $X_1=X_3=X_4$ con valores en algún intervalo positivo acotado $(0,c)$ y $X_2=c-X_1$ . Entonces $E[X_1\mid Y]=Y-c$ es una función creciente de $Y$ mientras que $E[X_1\mid X_2]=c-X_2$ es una función decreciente de $X_2$ .

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( Debido al vandalismo del OP, la pregunta que aborda esta respuesta es ahora imposible de adivinar. La reproducimos aquí, corrigiendo algunas erratas, errores gramaticales y formulaciones incómodas. )

Sean X1, X2, X3, X4 variables aleatorias continuas (no necesariamente independientes) que verifican la siguiente propiedad relativa a la expectativa condicional:

(1) E(X1 | X2 + X3 + X4 = u) ≥ E(X1 | X2 + X3 + X4 = v)

para reales positivos arbitrarios u ≥ v. ¿Se puede demostrar que (1) implica

(2) E(X1 | X2 = w) ≥ E(X1 | X2 = z)

para reales positivos arbitrarios w ≥ z ? También serían bienvenidos los contraejemplos que demuestren que esto no siempre es así.

Answer 2

Contraejemplo: Sea $X_3$ sea una variable aleatoria que satisfaga $E[X_1|X_3 = u] \geq E[X_1|X_3 = v]$ siempre que $u \geq v$ . Sea $X_2$ sea una variable aleatoria que no satisfaga $E[X_1|X_2 = u] \geq E[X_1|X_2 = v]$ siempre que $u \geq v$ . Sea $X_4 = -X_2$ .