Topología algebraica : Teorema de Adam

Question

En clase, aprendí el Teorema de Adam.

Que establece el haz de tangentes en $S^n$ es trivial sólo $n=1,3,7$ .

Me surge alguna duda sobre $n$ . Por qué $n=1,3,7$ son tan especiales?

El profesor da una explicación sencilla sobre $n=1$ .

$i.e$ para $n=1$ podemos introducir una coordenada compleja tal que $S^1$ contienen $\mathbb{R}^2=\mathbb{C}$ .

Answer 1

Este es un problema muy difícil que frustró a los topólogos algebraicos durante mucho tiempo. La referencia es:

Adams, J. F. Sobre la inexistencia de elementos de la invariante de Hopf . Ann. de Matemáticas (2), 1960, 72, 20-104

Que puede encontrar en JSTOR . Adams proporciona este útil diagrama:

En particular, también tiene que ver con la existencia de un álgebra de divisiones estructura en $\mathbb{R}^n$ sobre la existencia de Invariante de Hopf un mapa...

La prueba en ese documento pasa por operaciones secundarias de cohomología . La idea en sí es muy simple (una vez que la conoces), son los detalles los que son increíblemente difíciles. Por ejemplo, es fácil de ver con un Plazas Steenrod que $n$ tiene que ser una potencia de $2$ para $S^{n-1}$ para tener un haz tangente trivial, gracias a que las cuatro conclusiones de este teorema son equivalentes para un determinado $n$ :

Es porque $\operatorname{Sq}^n$ es descomponible en términos de $\operatorname{Sq}^i \operatorname{Sq}^j$ con $i,j < n$ cuando $n$ no es un poder de $2$ . Para demostrar que $n$ debe ser uno de $1,2,4,8$ , pasas por las operaciones secundarias y aplicas la misma idea (tratas de descomponer $\operatorname{Sq}^n$ con términos más bajos).

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Obsérvese que la inversa es mucho más sencilla: si $n=1,2,4,8$ es muy fácil demostrar que $S^{n-1}$ tiene un haz tangente trivial. La respuesta viene de la línea real $\mathbb{R}$ el plano complejo $\mathbb{C}$ los cuaterniones $\mathbb{H}$ y los octoniones $\mathbb{O}$ ; todas son álgebras de división, y $S^{n-1}$ es la esfera unitaria de estas álgebras de división. Entonces es fácil demostrar que esto implica lo que queremos.