Reclamo: si una operación se recorre en todos los asociativa, eventualmente se repita.
Denotar $\circ_1$$\circ$$\circ_2$$\circ'$. Indicar el $n$th poder de $x$ con respecto al $\circ$$x^{\circ n}$, por lo que el $x \circ' n = x^{\circ n}$. Entonces si $\circ'$ es asociativa,
$$a^{\circ b^{\circ c}} = (a^{\circ b})^{\circ c} = a^{\circ bc}$$
donde la última igualdad se sigue de la asociatividad de $\circ$.
Ahora supongamos que, por cualquier $N \in \mathbb N$ podemos encontrar $x$ tal que $x = x^{\circ 1}, ..., x^{\circ N}$ son todos distintos. Entonces, para todos los $b$$c$, podemos encontrar una $x$ tal que $x^{\circ b^{\circ c}} = x^{\circ bc}$ implica que el $b \circ' c = b^{\circ c}$ $bc$ son iguales, por lo que, de hecho,$\circ' = \times$. Y en este caso, $a \circ b = 1^{\circ a} \circ 1^{\circ b} = 1^{\circ a + b} = a + b$.
Ahora veamos el otro caso. En cualquier semigroup, el semigroup generado por un solo elemento $a$ se determina de forma exclusiva hasta el isomorfismo por el primer poder que se repite, $m_a$, y el mínimo período de $p_a$. También vamos a $n_a = m_a + p_a$. Llamar a este semigroup $C_{m, p}$.
El cíclico semigroups en $\circ$ completamente determinar $\circ'$, ya que es sólo repiten $\circ$.
Ahora note que, por inducción,
$$a \circ'' 1 = a = a^{\circ a^0}$$
$$a \circ'' (n + 1) = (a \circ'' n) \circ' a = a^{\circ a^{n-1}} \circ' a = (a^{\circ a^{n-1}})^{\circ a} = a^{\circ a^n}$$
Así que, básicamente, si consideramos, $C$ como un cociente de enteros no negativos considerados como exponentes, $C'$ es sólo el cíclico multiplicativo monoid generado por $a$$C$!
Esto implica inmediatamente que la operación debe eventualmente repetir. Para ver por qué, observe que todos los $C$ tienen un tamaño limitado por $M$. Por lo tanto, también lo hacen todos los $C'$ (e $|C'| \le |C|$). Ya que sólo puede haber un número finito de estos monoids, el tamaño de todos los cíclico monoids estabiliza después de un cierto punto. Después de este punto, tenemos los mismos elementos en $C$$C'$, pero posiblemente con un funcionamiento diferente. Pero, de nuevo, hay sólo un número finito de operaciones de este tipo, por lo que deben repetir en el acotado de tiempo. Luego, simplemente recorrer por el mínimo común múltiplo de estos periodos (peor de los casos, dicen, $2^M + 2^M!$) y obtendrá una operación repetida.
En la mayoría de los casos $C'$ será menor de lo $C$. Aviso, $|C| = n_a - 1$.
Si $a \ge m_a$, entonces sólo se consiguen $1$ y elementos en $[m_a, n_a)$, por lo que, si $m_a > 2$, $2 \notin C'$.
Si $a < m_a$, $|C| = |C'|$ sólo al $a = 2$ $m_a = 3$ (porque de lo contrario debemos omitir $a^{\circ 2}$ o $a^{\circ 3}$ - o $a = 1$ $C'$ es trivial).
Por otra parte, $(j + dp_a)(k + ep_a) = jk +Qp_a$, por lo que, en realidad, el subsemigroup $[m_a, n_a)$ es isomorfo a $\mathbb{Z}/ p_a\mathbb{Z}$ tanto en términos de la adición y la multiplicación. Debemos, finalmente, conseguir algo de poder de $a$ dentro de este monoid. Y la única vez que un multiplicativo submonoid de $\mathbb{Z}/ p_a\mathbb{Z}$ es igual a la cosa entera es al $p_a = 1$.
Por lo tanto, la única estable cíclico semigroups son $\mathbf{1} = \{a,a^{\circ 2}=a, ...\}$, $A = \{a,a^{\circ 2},a^{\circ 3} = a^{\circ 2}, ...\}$, $T = \{a,a^{\circ 2},a^{\circ 3}, a^{\circ 4} = a^{\circ 3}, ...\}$, y $T$ sólo al $a = 2$.
Tenemos pues, en la mayoría de las tres clases de elementos: idempotents ($a \circ a = a$), square-idempotents ($a \circ a = f(a)$ un idempotente), y $2$, posiblemente, puede ser ninguno de los dos (en el que caso de que su cuadrado debe ser de la segunda clase).
Desde cada uno de estos semigroups en realidad produce la misma operación, el periodo mínimo de un superassociative operador debe además ser $1$, y su "$m$" debe ser menor que $M$.
Todos los ejemplos mencionados anteriormente encajan en este patrón.
$a \circ_L b = a$ $\circ_L' = \circ_L$ y todos los elementos están idempotente.
$a \circ_R b = b$ $\circ_R' = \circ_L$ , y de nuevo todo es idempotente. De hecho, cualquier operación en la que todo es idempotente produce $\circ_L$. E. g., $\max$ $\min$.
$a \circ_k b = k$: (lo siento, la sobrecarga OP notación aquí) $\circ_k'$, en realidad es sólo asociativa para $k \ne 1$: $a \circ_k' b = k$ si $b > 1$, de lo contrario $a$. Esto es casi estable, excepto cuando se $a = 1$, pero en realidad nos hacen llegar una cadena de tres distintos operadores de aquí.
Y de hecho, utilizando el anterior cíclico monoids podemos construir todas las operaciones asociativas $\circ$ tal que $\circ' = \circ$. Supongamos $f : \mathbb{N}_{\ge 1} \to \mathbb{N}_{\ge 1}$ es idempotente: $f(f(x)) = f(x)$, $f(x) = 1$ fib $x = 1$. También fix $g \in \mathbb{N}_{\ge 1}$, y requieren que el $f(g) = f(2)$ e si $g = 2$, luego $f(2) = 2$. ($f$ a continuación se da el elemento de la parte superior en cada cíclico monoid, y $g = 2 \circ 2$.) A continuación, establezca
$$a \circ b = \begin{cases}
a & \mbox{if } b=1 \\
g & \mbox{if } a = b = 2 \\
f(a) & \mbox{else} \end{casos}$$
Debería ser posible, con algún trabajo, para la construcción de (arbitrariamente larga?) las cadenas de operaciones distintas trabajando desde el estable monoids.
Pregunta:
Si $\circ$ $\circ'$ son asociativos (pero no $+$$×$) no $\circ''$ tiene que ser así?
