Para cada primo de la forma 6x-1 hay un número comparable de primos de la forma 6x+1

Question

Todos los primos excepto $2$ y $3$ son de la forma $6x-1$ y $6x+1$ . Para cada primo de la forma $6x-1$ hay un número comparable de primos de la forma $6x+1$ en la primera $10000$ primos o hay un exceso de una forma sobre la otra? Gracias

Answer 1

Entre los primeros 10000 primos, hay $4988$ de la forma $6k + 1$ y $5010$ de la forma $6k-1$ . Obtuve estos números usando una búsqueda tonta en la computadora.

Answer 2

Ir más allá $10000$ (que, como señaló Dan Shved, se puede contar simplemente), el siguiente hecho ilustra que los primos están "igualmente" repartidos entre $6n-1$ y $6n+1$ formas. Definir $\chi(p)=-1$ si $p\equiv 1\bmod 3$ y $\chi(p)=1$ si $p\equiv -1 \bmod 3$ . Entonces la serie $$ \sum_{p\text{ prime}} \frac{\chi(p)}{p} \tag1 $$ converge. Como la serie $\sum_{p\text{ prime}} \frac{1}{p}$ diverge, la finitud de (1) demuestra que la contribución positiva de los primos de la forma $6n-1$ es igualada por las contribuciones negativas de los primos de la forma $6n+1$ .

Para más información, consulte esta respuesta por Bruno Joyal.