Cociente del medio plano superior por un grupo discreto

Question

Estaba leyendo el artículo de Mehta y Seshadri "Moduli of vector bundles on curves with parabolic structures".

En el segundo párrafo, escribieron:

"Supongamos que $H$ mod $\Gamma$ tiene una medida finita ( $H$ es el semiplano superior complejo, y $\Gamma$ es un grupo discreto). Sea $X$ sea la curva proyectiva suave que contiene $H$ mod $\Gamma$ como subconjunto abierto y $S$ el subconjunto finito de $X$ correspondientes a los puntos fijos parabólicos y elípticos bajo $\Gamma$ ."

No estoy seguro de lo que significan aquí parabólica y elíptica. ¿Y por qué una $X$ ¿existen? Si tomo una superficie de Riemann y le quito varias bolitas, ¿cuándo es biholomorfa a otra superficie de Riemann quitándole varios puntos?

Answer 1

Me gusta pensar en esto geométricamente. $H/\Gamma$ es un espacio métrico topológico. En la mayoría de los puntos de $H$ (que no están fijados por ningún elemento de $\Gamma$ el cociente se parece al plano hiperbólico $H$ en sí mismo. Las singularidades provienen de elementos elípticos de $\Gamma$ es decir, rotaciones (locales), donde se obtiene una métrica cónica (localmente como la métrica de un trozo de papel enrollado en un cono). Quitemos esos puntos y consideremos la estructura conformacional procedente de la métrica riemanniana resultante. Los extremos de esta superficie parecen singularidades removibles (localmente como $\mathbf{C}$ menos un punto en su estructura conformacional), por lo que se puede rellenar de forma única. $X$ es el resultado de rellenar los puntos, y $S$ es el conjunto de puntos rellenos.

Los puntos en $S$ provienen tanto de los puntos del cono eliminado como de algunos puntos en el infinito, los puntos elípticos como explica Charlie más arriba.

Hay que tener cuidado de distinguir entre eliminar un punto (dejando una singularidad removible) y eliminar una pequeña bola (que es diferente conformemente). Eliminar una bola pequeña siempre da una superficie con área hiperbólica infinita cuando se uniformiza, y nunca es equivalente a una superficie compacta menos puntos.

Answer 2

Si $A \in PSL_2(\mathbb{R}$ entonces $tr^2(A)>4$ significa que es hiperbólica. Hay una única geodésica en el plano hiperbólico que es invariante bajo $A$ y $A$ actúa una traslación a lo largo de esa geodésica. Si $tr^2(A)<4$ entonces $A$ es elíptica. Tiene un único punto fijo en el plano hiperbólico y actúa como rotación alrededor de ese punto fijo. Si $tr^2(A)=4$ entonces podría ser la identidad, o podría ser parabólica. Si es parabólica tiene un único punto fijo en el círculo en el infinito en el plano hiperbólico. Si se pone ese punto fijo en el infinito, entonces parece la traslación $z\rightarrow z+c$ y con el escalado puedes hacer que $z\rightarrow z+1$ .

Si se toma un cociente del plano hiperbólico por el grupo generado por $z+1$ se obtiene un disco abierto una vez perforado. Debes pensar en esto como un barrio abierto del punto "desaparecido" de la superficie.

Si se tiene una superficie de tipo finito, es decir, que es homeomorfa al resultado de eliminar n puntos de una superficie orientada cerrada, entonces el espacio de todas las estructuras conformes sobre ese espacio es mayor que el espacio de todas las estructuras con extremos parabólicos que es mayor que el espacio de las estructuras sobre la superficie cerrada.

He aquí un ejemplo elemental. Los mapas conformes de $S^2$ a sí mismo son exactamente el grupo de transformaciones de Mobius. Sabes que una transformación de Mobius está determinada por el lugar al que envía tres puntos. Sea $C$ sea el espacio de elección de 4 puntos de $S^2$ . Dos opciones son equivalentes si y sólo si existe una transformación de Mobius que lleva una a la otra. Puedo elegir enviar tres puntos a tres puntos, pero no tengo control sobre dónde está el $4$ El espacio de las clases de equivalencia conformacional es un complejo, o dos dimensiones reales.