Se busca: diferencial procedente de una superficie de género superior en la Homología de Floer de Heegaard

Question

Estoy interesado en el estudio de los módulos de las superficies complejas que surgen en el cálculo de la diferencial en el complejo de cadenas de Heegaard Floer Homology. En particular, me interesa el caso genérico, cuando los discos holomorfos en $\operatorname{Sym}^g\Sigma$ son tan "malos" como sea posible. He buscado en Internet algunos ejemplos de discos de Whitney "genéricos"/"complicados" en el producto simétrico, pero la mayoría de los artículos que veo tratan de casos especiales (concretamente, cuando se puede ver por inspección y por el teorema del mapa de Riemann que ciertas clases de homotopía de los discos de Whitney son representables de forma única por discos holomorfos).

Para explicar lo que quiero decir con discos holomorfos "complicados", recordemos cierta perspectiva (ahora estándar) sobre los discos de Whitney. Si tenemos un disco holomorfo $\phi:\mathbb D^2\to\operatorname{Sym}^g\Sigma$ entonces podemos considerar el producto de la fibra: $$\begin{matrix} S&\xrightarrow{\tilde\phi}&\Sigma\times\operatorname{Sym}^{g-1}\Sigma\cr \downarrow& &\downarrow\cr \mathbb D^2&\xrightarrow\phi &\operatorname{Sym}^g\Sigma \end{matrix}$$ Entonces $S\to\mathbb D^2$ es un $g$ -(y la fibra sobre un punto $p\in\mathbb D^2$ es "la $g$ puntos en $\Sigma$ dado por $\phi(p)$ "). Por lo tanto, otra forma de ver los discos holomórficos en $\operatorname{Sym}^g\Sigma$ es como $g$ -mapas ramificados $S\to\mathbb D^2$ junto con un mapa $S\to\Sigma$ . Por lo tanto, aunque consideremos sólo los discos que se asignan a $\operatorname{Sym}^g\Sigma$ Los espacios de moduli de las superficies de Riemann más complicadas entran naturalmente en juego en la Homología de Floer de Heegaard como moduli de la cubierta ramificada $S$ .

Me interesa el siguiente comportamiento "complicado" de $S$ y del mapa $\tilde\phi:S\to\Sigma$ :

1. ¿Puede el mapa $S\to\Sigma$ ¿no es una inmersión? (Creo que la respuesta es sí; de hecho, creo que sé dónde buscar más información al respecto, sólo que aún no lo he seguido).

2. En general, ¿qué hacen las "hendiduras" o "cortes" a lo largo del $\alpha$ y $\beta$ las curvas se ven en $S$ y cómo lo hace $S$ ¿se degenera al variar la longitud de estas rendijas? ¿Interactúan alguna vez las rendijas entre sí (por ejemplo, colisionando), o dan todas ellas degeneraciones "independientes" de $S$ ? (esto es un poco vago, pero si alguien tiene un ejemplo esclarecedor, me gustaría verlo)

3. Puede $S$ ¿tiene género positivo? Esta es la pregunta que más me interesa. Sé de buena tinta que la respuesta es afirmativa, así que en realidad lo que quiero es un ejemplo en el que $S$ tiene género positivo y contribuye al diferencial (o al menos tiene índice de Maslov uno).

Answer 1

1. Sí, $S \to \Sigma$ puede no ser una inmersión. El fracaso es un punto de ramificación del mapa $S \to \Sigma$ ya que es un mapa (casi) holomorfo. Esto es bastante común en cuanto la multiplicidad de alguna región en $\Sigma$ es mayor que $1$ . Por supuesto, en los ejemplos sencillos que se pueden calcular, esto tiende a no ocurrir.

2. Una "hendidura" a lo largo del $\alpha$ o $\beta$ curvas parece una pieza perfectamente ordinaria de la frontera arriba en $S$ incluso en el extremo de la hendidura. Es mejor pensar en el final de la hendidura como un punto de bifurcación del límite, con un aspecto local como el del mapa $z \to z^2$ restringido al semiplano superior del dominio. Las rendijas no pueden colisionar, debido a la monotonicidad de los límites: sobre cada punto de $\partial \mathbb{D}^2$ El $g$ los diferentes puntos se asignan a distintos $\alpha$ -Curvas. No sé a qué te refieres con degeneraciones "independientes", perdón....

3. Sí, las imágenes de género superior pueden ocurrir, y no es demasiado difícil construir ejemplos que se vean forzados por el encolado, aunque de nuevo en la mayoría de los casos en los que se puede calcular la homología de Heegaard Floer contando directamente las curvas no lo hace. La fórmula del índice en el Corolario 4.3 del artículo de Lipshitz " Una reformulación cilíndrica de la homología de Heegaard Floer " le permitirá construir fácilmente ejemplos de superficie de alto género con índice 1, y un poco más de juego debería permitirle ver que algunos de ellos deben tener realmente representantes.