Fuerza gravitatoria al estar sobre un disco infinito

Question

Si una persona se pusiera de pie sobre un disco plano de 1 metro de grosor pero de diámetro infinito, ¿experimentaría una fuerza descendente finita o infinita?

Hay una cantidad infinita de masa, toda la cual atrae a la persona, pero la mayor parte también está infinitamente lejos. ¿Se "anulan" las dos cosas o gana la masa infinita?

Para una definición precisa de "diámetro infinito", tomemos el límite de un disco circular con diámetro $x$ como $x$ se acerca al infinito, con la persona de pie sobre el centro de gravedad del disco.

Answer 1

Si el disco tiene un diámetro infinito no es más que un plano infinito. Para cualquier espesor finito podemos considerar una capa de masa cuya densidad superficial es $\sigma$ . Además, si el avión es infinito, no importa si estás a un metro o a un kilómetro del avión. Se mire donde se mire el plano, se verá la misma estructura. Así que el campo gravitatorio no puede depender de la distancia al plano. Debe ser uniforme y sus líneas deben ser perpendiculares al plano.

La aplicación de la Ley de Gauss para una superficie cilíndrica gaussiana cuyo eje de simetría es perpendicular al plano se obtiene $$\oint \vec g\cdot \mathrm d\vec A=2Ag=-4\pi G m,$$ donde $A$ es la base/área superior del cilindro y $m$ es la masa en su interior. Por lo tanto, el campo gravitacional se lee $$g=-\frac{2\pi Gm}{A}=-2\pi G\sigma,$$ y ésta es una cantidad finita.

Editar: Sólo estoy introduciendo algunos números para ver qué obtenemos. La constante gravitacional es $G=6.67\times 10^{-11}\, ~\mathrm{Nm^2/kg}.$ Si la capa de masa es $d$ metros de grosor y de un material con la misma densidad de masa media de la Tierra ( $\rho=5.5\cdot 10^3\, ~\mathrm{kg/m^3}$ ) dará $$\sigma=\frac{5.5\cdot 10^3\cdot d\cdot A}{A}=5.5\cdot 10^3\cdot d\,~\mathrm{kg/m^2}.$$ Por lo tanto, la magnitud de la gravedad calculada anteriormente es $$g=2.3\cdot 10^{-6}\cdot d\, ~\mathrm{m/s^2}.$$ Para dar $9.8\, ~\mathrm{m/s^2}$ el disco tendría que ser $4.3\cdot 10^3$ kilómetros de grosor. Hay que tener en cuenta que el diámetro de la Tierra es de unos $12\times 10^3$ kilómetros.

Answer 2

Puedes hacer la integral y descubrirás que la respuesta es "finita", porque no sólo aumenta la distancia a la masa, sino también el ángulo.

Consideremos un anillo a una distancia radial $r$ Si tienes masa por área $\sigma$ la masa total a esa distancia es $2\pi r \sigma$ si la distancia vertical al centro del disco es $h$ la componente vertical de la fuerza es $\frac{F\cdot h}{r}$ .

Os dejo con esta pista. Mira si puedes escribir la integral desde aquí. Verás que depende de $h$ y $\sigma$ solamente. Este es el mismo resultado (y el mismo análisis) que se obtendría para demostrar que el campo eléctrico delante de un plano cargado uniformemente es finito (con ecuaciones de aspecto muy similar).

Answer 3

Como la cuestión es finita frente a infinita, supongo que no necesitamos el resultado exacto para un disco finito (aunque no es difícil de calcular).

La respuesta intuitiva simple es que, aunque la masa del disco sea infinita, la mayoría de las fuerzas de los trozos de disco que salen al infinito se cancelarán debido a la simetría, por lo que la respuesta es finita.

Supongamos que somos una altura $h$ por encima del disco. Supongamos que $R$ es un número mucho mayor que $h$ . Supongamos ahora que dividimos la fuerza en dos trozos: el trozo 1 es la fuerza de un disco muy grande de radio $R$ y la pieza 2 es la fuerza del resto del disco que va de R al infinito. La fuerza del disco muy grande es claramente finita ya que la masa es finita. La fuerza del resto del disco es ahora más sencilla de calcular ya que $R$ es mucho mayor que $h$ . Así que la pregunta es si la fuerza de la masa restante resulta en una fuerza finita o infinita.

Si imaginamos un anillo (anillo fino) con una profundidad de 1 metro (como el disco), radio $r$ (más grande que $R$ ) y el grosor $dr$ (un infinitesimal) entonces podemos calcular la fuerza gravitacional de este anillo. Como ya se ha mencionado, un efecto muy importante es que habrá mucha cancelación: los trozos del anillo situados más al norte anularán principalmente los trozos situados más al sur, por ejemplo. La parte que sobrevive es la vertical componente de la fuerza solamente. Así que la componente vertical de la fuerza introducirá un factor de $h/r$ (cuando $r$ es mucho mayor que $h$ ).

La componente vertical de la fuerza gravitatoria del anillo es entonces como (utilizando la ley del cuadrado inverso y observando que la masa es densidad por volumen):

$$dF = \mathrm{constant} \cdot r \cdot \frac{dr}{r^2}\cdot\frac{h}{r},$$

o

$$dF = \mathrm{constant}\cdot\frac{dr}{r^2}.$$

La integración sobre todos estos anillos hasta el infinito conduce a un resultado finito como la integral de un número finito hasta el infinito de $1/r^2$ es finito.