¿Son secuenciales los espacios topológicos localmente metrizables?

Question

Supongamos que $(X,\tau)$ es un espacio topológico localmente metrizable, es decir, cada punto $x \in X$ tiene un barrio abierto $U$ en la que podemos definir una métrica que dé lugar a la misma topología de $U$ (como subconjunto de $X$ ).

Supongamos ahora que tenemos una función $f: (X,\tau) \to \mathbb{R}$ (o cualquier espacio métrico en lugar de $\mathbb{R}$ ). ¿Puedo razonar con secuencias para demostrar que $f$ es continua? Es decir, ¿es la continuidad secuencial equivalente a la continuidad en espacios topológicos localmente metrizables?

Answer 1

Dejemos que $X$ ser localmente metrizable.

Si $A$ es secuencialmente cerrado, entonces si $x \in \overline{A}$ Tendríamos un vecindario metrosexual $U_x$ de $x$ por suposición. Se deduce fácilmente que existe una secuencia $a_n \in A\cap U_x$ para que $a_n \to x$ y el cierre secuencial de $A$ implicaría $x \in A$ y por lo tanto $A$ está cerrado.

Le site esencia de la prueba es que un espacio localmente metrizable es primero contable.

Así que, efectivamente, la continuidad secuencial con el dominio $X$ implicaría la continuidad ordinaria, por ejemplo (una consecuencia estándar de ser un espacio secuencial).