¿Cómo demostrar algunas propiedades de la probabilidad condicional?

Question

Cómo demostrar que (dado que cualquier evento condicionante tiene probabilidad $> 0$ ):

1.IF $\mathbb{P}(B)=1$ entonces $\mathbb{P}(A|B) = \mathbb{P}(A)$ para cualquier $A$

Aquí, es obvio que $\mathbb{P}(A)$ está siempre en el subconjunto de $\mathbb{P}(B)$ y por lo tanto se produce con $\mathbb{P}(A)=1$ también. Pero no sé cómo expresarlo matemáticamente.

2. Si $A \subset B$ entonces $\mathbb{P}(B|A)=1$ y $\mathbb{P}(A|B)=\frac{\mathbb{P}(A)}{\mathbb{P}(B)}$

Aquí sólo pensaría de manera similar.

Answer 1

$\mathbb P(A\mid B)$ se define así: $$\mathbb P(A\cap B)=\mathbb P(A\mid B)\;\mathbb P(B)$$

De ahí saldrá todo lo que buscas.

1.IF $\mathbb{P}(B)=1$ entonces $\mathbb{P}(A\mid B) = \mathbb{P}(A)$ para cualquier $A$

Aquí, es obvio que $\mathbb{P}(A)$ está siempre en el subconjunto de $\mathbb{P}(B)$

No, lo que es evidente es que $A$ es el subconjunto de $B$ porque $B$ es el espacio total (a.s.).  

y por lo tanto se produce con $\mathbb{P}(A)=1$ también. Pero no sé cómo expresarlo matemáticamente.

No, $A\subseteq B$ significa que $\;\Bbb P(A)\leq \Bbb P(B)\;$ .   Sin embargo, lo más relevante (para el problema que nos ocupa) es que también significa que: $$A = A\cap B$$

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2. Si $A \subset B$ entonces $\mathbb{P}(B\mid A)=1$ y $\mathbb{P}(A\mid B)=\frac{\mathbb{P}(A)}{\mathbb{P}(B)}$

Segundo verso, igual que el primero.   Sustituye lo que te dan en la definición de probabilidad condicional, y luego simplifica.