Contraejemplo del teorema de Goldblatt-Thomason

Question

El teorema de Goldblatt-Thomason afirma que una clase de marcos de Kripke definibles de primer orden es definible de forma modal si

• es cerrado bajo uniones disjuntas,
• se cierra bajo subtramas generadas,
• es cerrado bajo imágenes p-mórficas,
• no contiene extensiones de ultrafiltro de cuadros que no estén en la clase.

Quiero encontrar un ejemplo de una clase definible por FO que esté cerrada bajo las tres primeras condiciones, pero que contenga una extensión de ultrafiltro de un marco que no esté en la clase.

Hasta ahora cualquier clase de marco que se me ocurra o encuentre no está cerrado bajo una de las tres primeras condiciones, o no es definible por FO.

Answer 1

Encontré uno en Blackburn, Venema & de Rijke's Lógica modal :

La clase de marcos definida por $\phi:=\forall x\exists y(xRy\land yRy)$ se cierra bajo las tres primeras condiciones, pero la extensión del ultrafiltro de $\langle \mathbb N,<\rangle$ también es un modelo de $\phi$ .