Homología de las variedades topológicas

Question

Dejemos que $X$ sea una variedad topológica de dimensión $n$ (asumiendo quizás que existe una base contable de conjuntos abiertos). NO suponga que $X$ es compacto, o orientado, o triangulable (por lo que no hay que suponer que sea liso).

1. ¿Podemos aún concluir que los grupos de homología $H_i(X, \mathbb{Z})$ son de generación finita?
2. ¿Podemos seguir concluyendo que $H_i(X, \mathbb{Z})=0$ para $i > n$ ?

El segundo punto está relacionado con el primero, ya que se puede demostrar que $H_i(X, \mathbb{Q})=0$ y $H_i(X, \mathbb{F}_p) = 0$ para todos los primos $p$ cuando $i>n$ . Si $H_i(X, \mathbb{Z})$ se supiera que es de generación finita, concluiríamos por el teorema de los coeficientes universales.

[Para ver la reclamación: si $X$ es $k$ -orientado, es parte de la dualidad de Poincaré que $H_i(X, k)=0$ para $i>n$ y $X$ es siempre $\mathbb{F_2}$ -orientado. A continuación, considere $Y \to X$ la cubierta canónica de 2 hojas con $Y$ orientada, y aplicar la secuencia espectral de homología de Serre a la fibración $Y \to X \to B\mathbb{Z}/2$ esto da $H_i(X, k)=0$ cuando $i>n$ para cada anillo $k$ en el que 2 es invertible].

¡gracias! Pierre

Answer 1

Ya se ha señalado en los comentarios que 1) es falso: tomemos por ejemplo una superficie de género infinito.

2) es verdadera. Para un colector orientado se tiene $H_i(M)\cong H^{n-i}_c(M)$ la cohomología con soportes compactos (véase el teorema 3.35 de Hatcher). Para $i>n$ el lado derecho es $0$ trivialmente. Si $M$ no está orientado, se tiene esencialmente el mismo teorema pero con coeficientes retorcidos en la cohomología. Véase la página 207 de la edición de Springer de Sheaf Theory de Bredon.