Encontrar el valor de un producto infinito

Question

Encuentra el valor del producto : $$P=\sqrt{\frac12}\sqrt{\frac12+\frac12\sqrt{\frac12}}\sqrt{\frac12+\frac12\sqrt{\frac12+\frac12\sqrt{\frac12}}}\ldots$$

Esto me lo preguntaron ayer en un examen, aún no sé cómo resolverlo pero la respuesta aparentemente es $\frac{2}{\pi}$

He probado a tomar el logaritmo de ambos lados para convertirlo en una suma y luego he intentado expresarlo en forma de $$\lim_{n \to \infty}\frac1n \sum_{r=0}^n f\left(\frac rn\right)$$ Para que pueda integrarlo, sin embargo no soy capaz de expresarlo de esta forma.

Answer 1

Fíjate en eso: $$ f:x\mapsto\sqrt{\frac{1+x}{2}}$$ actúa mediante el mapeo $\cos\theta$ en $\cos\frac{\theta}{2}$ . Si establecemos $x_1=\cos\frac{\pi}{4}$ y $x_{n+1}=f(x_n)$ se deduce que nuestro producto viene dado por: $$ \prod_{n\geq 1}x_n = \prod_{n\geq 1}\cos\left(\frac{\pi}{2^{n+1}}\right) $$ que es un producto telescópico: $$\prod_{n=1}^{N}\cos\left(\frac{\pi}{2^{n+1}}\right)=\prod_{n=1}^{N}\frac{\sin\left(\frac{\pi}{2^{n}}\right)}{2\,\sin\left(\frac{\pi}{2^{n+1}}\right)}=\frac{1}{2^N \sin\left(\frac{\pi}{2^{N+1}}\right)}.$$ Dejando $N\to +\infty$ La reclamación $\prod_{n\geq 1}x_n = \frac{2}{\pi}$ es lo siguiente. Se conoce como La fórmula de Viète .