¿Por qué los procesos progresivos?

Question

Esta pregunta puede ser vista como la inversa de ¿Por qué procesos predecibles?

Actualmente estoy tratando de obtener una comprensión básica de la integración estocástica (en particular las integrales de Itô), y estoy un poco confundido acerca de la introducción de diferentes tipos de mensurabilidad.

Estoy leyendo a Kallenberg, y cuando definieron la integral con respecto al movimiento browniano en particular asumimos que las integradas son progresivas y al generalizar a semimartingales con posibles discontinuidades de salto asumimos que las integradas son predecibles.

Soy consciente de que la previsibilidad

1. implica progresividad
2. es necesario para garantizar que las integrales son semimartingales cuando los integradores pueden no ser movimientos brownianos, así que entiendo por qué es necesario definir procesos predecibles.

Mi pregunta es ¿por qué definimos entonces los procesos progresivos? ¿Es sólo para tener una clase más amplia de procesos integrables o hay alguna otra razón más profunda?

Cualquier ayuda es muy apreciada.

Answer 1

"Progresista" es una noción natural en muchos sentidos. Si $B$ es un proceso progresivo, entonces $\omega\mapsto\int_0^t B_s(\omega)\, ds$ es $\mathcal F_t$ -medible (siempre que la integral converja). Si además $T$ es un tiempo de parada, entonces $B_T:\omega\to B_{T(\omega)}(\omega)$ es una variable aleatoria, más precisamente, $\mathcal F_T$ -Medible.