Demuestra que $f$ es uniformemente continua $\iff$ $\bar d(f(x_n),f(y_n)) \to 0$ para todas las secuencias $\{x_n\}, \{y_n\}$ en $X$ con $d(x_n, y_n) \to 0$ .

Question

Supongamos que $(X, d), (Y,\bar d)$ son espacios métricos, $f:X \longrightarrow Y$ . Demostrar que $f$ es uniformemente continua $\iff$ $\bar d(f(x_n),f(y_n)) \to 0$ para todas las secuencias $\{x_n\}, \{y_n\}$ en $X$ con $d(x_n, y_n) \to 0$ .

Si $f$ es uniformemente continua entonces es continua. Por lo tanto, si $\{x_n\}$ es una secuencia en $X$ con $x_n \to x$ entonces $f(x_n) \to f(x)$ . Del mismo modo, para $y$ . Por lo tanto, si tenemos $d(x_n,y_n) \to 0$ , entonces tendremos $x_n=y_n$ para grandes $n$ . Esto implicará que como $n \to \infty$ , $\ \bar d(f(x_n), f(y_n)) \to 0$ .

¿Estoy en el camino correcto?

Answer 1

Desgraciadamente, no, no estás en el camino correcto.

Supongamos que $X:=\Bbb R$ , dejemos que $x_n:=n$ y $y_n:=n+\frac 1n$ entonces $$ d(x_n,y_n)=\frac 1n $$ que converge a $0$ como $n\to \infty$ . Sin embargo, no existe tal $x$ que $x_n\to x$ .

Hay que utilizar toda la potencia de la continuidad uniforme para demostrar la afirmación, no basta con la continuidad.

Answer 2

Simplemente trabaja con la definición de continuidad uniforme (la necesitas, como muestra la respuesta de BigbearZzz). Escribo $|x-y|$ y $|f(x)-f(y)|$ para simplificar la notación.

Supongamos que $f$ es uniformemente continua, y que $(x_n)$ , $(y_n)$ sean dos secuencias con $|x_n-y_n|\to0$ $(n\to\infty)$ . Dejemos que un $\epsilon>0$ se le dará. Entonces hay un $\delta>0$ con $|f(x)-f(y)|<\epsilon$ tan pronto como $|x-y|<\delta$ . Además, hay un $N$ tal que $|x_n-y_n|<\delta$ Por lo tanto $|f(x_n)-f(y_n)|<\epsilon$ para todos $n> N$ . Como $\epsilon>0$ fue arbitrario esto demuestra $\lim_{n\to\infty}|f(x_n)-f(y_n)|=0$ .

Para la inversa, supongamos que $f$ no es uniformemente continua. Entonces hay un $\epsilon_0>0$ para el que no existe un $\delta>0$ lo que significa que para cualquier propuesta $\delta>0$ podemos encontrar dos puntos $x$ , $y$ con $|x-y|<\delta$ y $|f(x)-f(y)|\geq\epsilon_0$ . En particular, para cada $n\geq1$ podemos encontrar dos puntos $x_n$ , $y_n$ con $|x_n-y_n|<{1\over n}$ y $|f(x_n)-f(y_n)|\geq\epsilon_0$ . Para las dos secuencias $(x_n)$ y $(y_n)$ así que "construido" tenemos $\lim_{n\to\infty}|x_n-y_n|=0$ pero $\lim_{n\to\infty}|f(x_n)-f(y_n)|=0$ hace no aguantar.