Encuentra la matriz de transformación de esta transformación:

Question

Encuentra la matriz de transformación: $$F: \mathbb R_3[x]\ \mathbb ] \to \mathbb R_3[x]$$ $$F(v) = \frac{d^2 v}{dv^2}$$ Base: $1, x, x^2, x^3$ y $\mathbb R_3[x]$ - el conjunto de todos los polinomios de tercer grado de variable $x$ en $\mathbb R$ Supongamos que todos los coeficientes de los polinomios son $1$

Lo primero que se me ocurre es calcular esta derivada a mano, y así tenemos $$\frac{d^2y}{dy^2}=2+6x$$ Ahora, tenemos que poner estos valores - $2$ y $6$ en una matriz tal que -al multiplicarla por el vector base- nos dará $2+6x$ Pero se me ocurren muchas formas, por ejemplo $$\begin{bmatrix} 0&0&2&0 \\ 0 &0&0&6 \\ 0&0&0&0 \\ 0&0&0&0 \end{bmatrix}$$ O tal vez $$\begin{bmatrix} 2&0&0&0 \\ 0&6&0&0 \\ 0&0 &0 &0 \\0 &0 &0 &0 \end{bmatrix}$$ Porque ambos, al multiplicarse por $$\begin{bmatrix} 1 \\ x \\ x^2 \\ x^3 \end{bmatrix}$$ Dará la respuesta correcta. Por lo tanto, ¿cuál es la forma correcta de resolver esto?

Answer 1

Si elige una base ordenada para el dominio y el codominio, el orden es fijo.

Elige la base $x\mapsto 1, x\mapsto x, x\mapsto x^2, x\mapsto x^3$ .