1 votos

Conos y producto de puntos

Dejemos que $V$ = { $v_1$ , $v_2$ ,......, $v_k$ } sea una colección de $k$ vectores en $R^n$ . Demostrar que un vector $z$ en $R^n$ no está en el cono de $V$ si y sólo si existe un vector $w$ en $R^n$ tal que $z$ es menor que $90$ grados de $w$ pero cada $v_i$ en $V$ es al menos $90$ grados de $w$ .

Sé que $z$ estaría en el cono de $v$ si y sólo si $z=\sum _{m=0}^k\:x_iv_i$ donde todos $x_i$ son un conjunto de números no negativos. También veo que se está implicando aquí que el producto punto de $w$ y $z$ es mayor que $0$ y el producto punto de todos los $v_i$ y $z$ es menor que $0$ .

Pero no estoy seguro de cómo proceder más allá de esto. Estaba pensando en utilizar la propiedad distributiva del producto punto y en cómo conduciría a una contradicción si se cumple la condición anterior. Pero no estoy del todo seguro de cómo proceder.

Cualquier aportación será muy apreciada.

1voto

Demuestra el contrapositivo.

Supongamos que $z = \sum x_iv_i$ para $x_i$ no negativo. Sea $w$ sea un vector tal que cada $v_i$ tiene un ángulo de al menos $90^\circ$ con $w$ . Esto implica que $v_i \cdot w \leq 0$ para todos $i$ .

Ahora, $$ z \cdot w =\left(\sum x_iv_i \right)\cdot w = \sum x_i (v_i \cdot w) \leq 0 $$

porque cada término $x_i(v_i \cdot w)$ es un producto de un $+$ y un $-$ término, por lo que es no negativo. Por lo tanto, no hay manera de que $z$ puede ser inferior a $90^\circ $ de $w$ .

Por lo tanto, no hay tal $w$ como se menciona en la pregunta existe.

i-Ciencias.com

I-Ciencias es una comunidad de estudiantes y amantes de la ciencia en la que puedes resolver tus problemas y dudas.
Puedes consultar las preguntas de otros usuarios, hacer tus propias preguntas o resolver las de los demás.

Powered by:

X