Esta pregunta se inspira en la pregunta " -con respecto a la norma de corte " del usuario Aaron, que había sido reenviado a cstheory.stackexchange.com .
El norma de corte || A || C de una matriz A \=( a <i>ij </i> ) m × n se define como el máximo de | <i>i </i><i>I </i>, <i>j </i><i>J </i> a <i>ij </i> | sobre los subconjuntos I {1, , m } y J {1, , n }. La "bola de la unidad" en m × n con respecto a la norma de corte es el politopo convexo P ( m , n ) = { A m × n : || A || C 1}. Sea V ( m , n ) es el volumen de este politopo P ( m , n ).
Desde P ( m , n ) contiene [0, 1/ mn ] m × n tenemos que V ( m , n ) 1/( mn ) mn . En otras palabras, ( V ( m , n )) 1/ mn 1/ mn .
Pregunta . ¿Es este límite inferior de ( V ( m , n )) 1/ mn ¿apretado hasta un factor constante? En otras palabras, ¿existe una constante c >0 tal que para cada m , n 1, se cumple que ( V ( m , n )) 1/ mn c / mn ?
Este límite inferior es efectivamente ajustado hasta un factor constante si uno de m y n está limitada por una constante. Esto se puede demostrar de la siguiente manera. En una respuesta en cstheory.stackexchange.com , di un esbozo de una prueba de que V (1, n ) = (2 n )!/( n !) 3 . Utilizando esto, tenemos que V ( m , n ) ( V (1, n )) m \= ((2 n )!) m /( n !) 3 m . Al utilizar La fórmula de Stirling obtenemos que existe una constante absoluta d >0 tal que para cada m y n se cumple que ( V ( m , n )) 1/ mn d min{1/ m , 1/ n }.
Una respuesta positiva a esta pregunta mejora el límite inferior de la pregunta de Aarón para igualar el límite superior hasta un factor constante.
