A lo largo de este post $G$ denota $GL_{n}(\mathbb{F})$ donde $\mathbb{F}$ denota el campo finito de $q$ elementos.
Actualmente estoy leyendo el mencionado libro para entender cómo las representaciones irreducibles de $G$ se construyen. Para empezar, necesitamos entender la clase de conjugación de $G$ .
En el libro explica cómo dado un espacio vectorial $V$ para cada $g \in G$ podemos equipar $V$ con un $\mathbb{F}[t]$ estructura del módulo estableciendo $t \cdot v = g(v)$ y extendiéndolo linealmente. Cuando nos referimos a $V$ como $\mathbb{F}[t]$ para un módulo específico $g$ lo denotamos como $V^{g}$ .
Desde aquí entiendo que $V^{g_{1}} \cong V^{g_{2}}$ como $\mathbb{F}[t]$ si y sólo si $g_{1}$ y $g_{2}$ pertenecen a la misma clase de conjugación. Por lo tanto, si sólo nos importa $V^{g}$ hasta el isomorfismo, podemos denotarlo como $V^{\mathcal{C}}$ donde $\mathcal{C}$ es la clase de conjugación de $g$ .
A continuación, demuestra que para cualquier clase de conjugación dada $\mathcal{C}$ tenemos $V^{\mathcal{C}} \cong \displaystyle \bigoplus_{i = 1}^{s -1} \mathbb{F}[t]/(f_{i})^{e_{i}}$ donde $f_{i}$ son polinomios irreducibles de $\mathbb{F}[t]$ . La prueba de esto es básicamente usar el teorema de la estructura para módulos generados finitamente sobre un PID.
Aquí es donde comienza mi confusión. Dice que para cada $f_{i}$ en la descomposición de $V^{\mathcal{C}}$ podemos asignar una partición y si estoy entendiendo bien, parece que podemos construir una partición para $n$ . Sea $d_{i}$ denotan el grado de $f_{i}$ . Basándome en el montaje hasta ahora, mis preguntas son las siguientes.
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¿Qué es exactamente esta partición basada en la descomposición anterior? ¿Es la partición en $d_{i}$ o es la partición en $n$ ?
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¿Tiene la partición algo que ver con \begin{align*} \displaystyle \sum_{i = 1}^{s} d_{i}e_{i} = n \end{align*}
Cualquier ayuda es muy apreciada. Gracias. :)
