Módulos finitos (de cardinalidad) sobre un PID

Question

Dejemos que $R$ sea un dominio ideal principal con $|R|=\infty$ . Supongamos que $M$ es un $R$ -tal que $2 \le |M| < \infty$ . ¿Qué propiedades implica esto sobre $R$ ?

Antecedentes: Esperaba que $R\cong \mathbb{Z}$ es la única posibilidad, ya que $M$ es (también) una entidad finitamente generada $\mathbb{Z}$ -módulo.

Answer 1

Si entiendo bien tienes un PID infinito que tiene un módulo finito no nulo, digamos $M$ . En particular, $M$ es de generación finita y de torsión, por lo que es una suma directa (finita) de módulos de torsión indecomponibles, es decir, de módulos de la forma $R/(p^m)$ con $p\in R$ de primera, $p\ne0$ . Esto demuestra que hay que imponer $R$ la siguiente condición:

$R/(p)$ es finito para algún primo $p\in R$ , $p\ne0$

lo que equivale a $R/(p^m)$ es finito para algún primo $p\in R$ , $p\ne0$ y $m\ge1$ .

Por ejemplo, $R=\mathbb Z[i]$ es un ejemplo de ello (además de $\mathbb Z$ ).