La respuesta a la pregunta del título es NO, todo ocurre en el mismo espacio vectorial. La definición dada es incorrecta (o al menos no utiliza la notación "estándar"). Primero hay que describir la noción de "retraer" un campo vectorial mediante un difeomorfismo:
Definición.
Dejemos que $M,N$ sean variedades suaves, $\phi:M \to N$ un difeomorfismo, y $Y$ un campo vectorial suave en $N$ . Definimos el campo vectorial pull-back $\phi^*[Y]$ (también escrito $\phi^*Y$ o con cualquier otra convención de paréntesis que desee) por \begin{align} \phi^*[Y] := T \phi^{-1} \circ Y \circ \phi \end{align} donde en general para un mapa $g:M \to N$ , $Tg:TM \to TN$ se refiere al mapa tangencial.
Nótese, por supuesto, que en la definición anterior, por escrito $T \phi^{-1}$ No importa si lo interpretas como $T(\phi^{-1}):TN \to TM$ o $(T \phi)^{-1}:TN \to TM$ porque es lo mismo.
De nuevo, la idea de retroceder es que tenemos un campo vectorial $Y$ en el colector de destino $N$ y nos gustaría tener un campo vectorial en la variedad del dominio. Entonces, ¿qué es lo más natural que podemos intentar? Pues tomar un punto $p \in M$ en el dominio. De alguna manera necesitamos obtener un vector en $T_pM$ . Para ello, primero enviamos $p$ a $\phi(p) \in N$ , entonces utiliza el campo vectorial $Y$ para obtener un vector $Y(\phi(p)) \in T_{\phi(p)}N$ y finalmente "devolvemos" este vector utilizando $T\phi^{-1}$ para obtener el vector $T\phi^{-1}(Y(\phi(p))) \in T_{\phi^{-1}(\phi(p))}M = T_pM$ . Entonces, finalmente, como todos los mapas son suaves, se deduce que $\phi^*[Y]$ es también un campo vectorial suave.
Ahora, en la definición de la derivada de Lie, tenemos los mismos colectores, $M=N$ y el difeomorfismo en cuestión es $\phi_t:M \to M$ el tiempo $t$ mapa de flujo. Así, según la construcción anterior, tenemos un campo vectorial $Y$ en "el colector de destino" $M$ y lo retiramos para obtener un campo vectorial en el "colector de dominio" $M$ , a través de $(\phi_t)^*[Y]$ . Así pues, todas las operaciones tienen lugar en el mismo espacio vectorial: para cada $p \in M$ tenemos $[(\phi_t)^*Y](p) \in T_pM$ y $Y(p) \in T_pM$ también (esto es por supuesto cierto, porque ambos son campos vectoriales en $M$ Así que si evalúo en $p \in M$ , obtengo vectores en $T_pM$ por lo que la resta y la división por $t$ también está ocurriendo en $T_pM$ ).
