Identificar las singularidades y clasificarlas. Encontrar el residuo de la función en un punto dado.

Question

Identificar las singularidades de la función $f(z)=\frac{1}{\cos{z^2}}$ y clasificarlos. Encuentra el residuo de la función que el punto $z_0=\sqrt{\frac{\pi}{2}i}$ .

Espero encontrar una solución clara a este problema.

---

Mis pensamientos: Sé que las singularidades de una función racional son los ceros del denominador. Creo que las singularidades son $z=0$ y $z=n\pi$ . No estoy muy seguro de cómo clasificarlos. Creo que el 0 es un polo de orden 2 porque el ángulo es cuadrado. Sin embargo, también creo que puede ser un polo simple porque el denominador no está elevado a una potencia.

Además, si me piden que encuentre el residuo, ¿no significa que el punto $z_0$ ¿es una singularidad? En general, me siento confundido y agradecería una solución clara al respecto.

Answer 1

Sabemos que las singularidades de $\frac{1}{\cos(z^2)}$ son $\{z | z^2 = (n+1/2)\pi\}$ para un número entero n. Ahora vamos a clasificar las singularidades. Expandimos $\cos(z^2)$ y su derivada es $-2z\sin(z^2)$ que no es cero en ninguno de los puntos, por lo que todos los polos son de orden 1.

Ahora, como se trata de un polo simple, en $z_0 = i\sqrt{\pi/2}$ , $Res(f,z_0) = \frac{1}{-2z\sin(z^2)} = \frac{1}{-2i\sqrt{\pi/2}\sin(-\pi/2)} = \frac{i}{2 \sqrt{\pi/2}}$