Al trabajar con submanifolds embebidos me gusta utilizar los siguientes teoremas:
Si $S$ es un submanifold liso embebido de $Y$ entonces la inclusión $S\hookrightarrow Y$ es una inmersión suave y un homeomorfismo sobre su imagen.
Si $f:X\to Y$ es una inmersión suave y un homeomorfismo sobre su imagen entonces $f(X)$ es un submanifold incrustado de $Y$ y $f:X\to f(X)$ es un difeomorfismo.
Aquí $\mathrm{inc}\circ\Psi :M\to\mathcal E$ es una inmersión suave (como composición de inmersiones suaves) y un homeomorfismo sobre su imagen (como restricción de un homeomorfismo). Por tanto, su imagen $N$ es un submanifold incrustado de $\mathcal E$ y $\Psi_{|M}:M\to N$ es un difeomorfismo. En particular, las dimensiones de $M$ y $N$ son iguales y el espacio tangente $T_pM$ se asigna a $T_{\Psi(p)}N$ isomórficamente por $d_p\Psi$ .
Pero también usar sólo la definición no debería causar demasiados problemas. Para completar:
Dejemos que $q\in N$ y establecer $p=\Psi^{-1}(q)$ . Entonces hay un conjunto abierto $U\subseteq\mathcal{E}$ que contiene $p$ y una función suave $h:U\to\mathbb R^{n-k}$ avec $n=\dim\mathcal{E}$ y $k=\dim M$ tal que $0$ es un valor regular de $h$ y $U\cap M=h^{-1}(0)$ . Entonces $h\circ \psi^{-1}:\Psi(U)\to\mathbb R^{n-k}$ es una función suave definida en una vecindad abierta de $p$ teniendo $0$ como un valor regular con $$(h\circ \Psi^{-1})^{-1}(0)=\Psi(h^{-1}(0))=\Psi(U\cap M)=\Psi(U)\cap N$$ que muestra que $N$ es un submanifold incrustado de $\mathcal{E}$ .
