¿Por qué hay un factor de $4\pi$ en ciertas ecuaciones de fuerza?

Question

Me refiero a preguntar por qué hay $4\pi$ presente en las ecuaciones de fuerza que rigen la electricidad? Aunque todos los objetos del universo no son esféricos y circulares, la constante de proporcionalidad en ambas ecuaciones contiene $4\pi$ . ¿Por qué?

Answer 1

Supongo que te refieres a $k_e=\frac1{4\pi\epsilon_0}$ . Esto viene del hecho de que la ley de Coulomb se puede enunciar como :

$$F= \frac1{\epsilon_0}\frac1{4\pi r^2}q_1q_2 $$

Ahora, $\epsilon_0$ es la constante eléctrica, o la permitividad del espacio libre, y esencialmente escala la fuerza. El $4\pi r^2$ proviene de la superficie de la esfera. Es decir, a medida que el campo EM se aleja, se diluye en la superficie de una esfera.

Relacionado (más o menos) : ¿Es la constante gravitatoria universal de Newton la inversa de la permitividad de la masa en el vacío?

Relacionado : Un cambio en la ley gravitacional , Explicación para $E~$ sin caer en $1/r^2$ para las cargas de líneas y hojas infinitas?

Answer 2

Este problema se denomina a veces problema de la bala de cañón o problema de la pirámide cuadrada .

Tal vez pueda echar un vistazo a MathWorld o Wikipedia y algunas referencias en él.

La solución elemental se da en W. S. Anglin: El rompecabezas de la pirámide cuadrada The American Mathematical Monthly, Vol. 97, No. 2 (Feb., 1990), pp. 120-124.

Otras referencias útiles:

• Henri Cohen: Teoría de los Números: Herramientas y ecuaciones diofantinas, Sección 6.8.2

• S. C. Althoen y C. B. Lacampagne: Números tetraédricos como suma de números cuadrados , Mathematics Magazine, Vol. 64, No. 2 (abr., 1991), pp. 104-108

Recursos en línea:

• Wolfram MathWorld
• Wikipedia

Answer 3

La razón física de la aparición de un $4\pi$ en algún lugar en la teoría es la simetría esférica del problema y se discute más en otras respuestas . Aquí quiero citar un argumento interesante de las Conferencias sobre Física Teórica Vol III de Arnold Sommerfeld, que tiene una sección dedicada a esta cuestión.

Si retira el $4\pi$ de la ley de fuerza la tendrás en la ecuación de Maxwell más fundamental:

$$\nabla.\mathbf{D}=4\pi\rho$$ y también distorsionará la densidad de energía en: $$W=\frac{1}{8\pi}\mathbf{E}.\mathbf{D}$$

Pero Heaviside, como se dice en el libro mencionado, que luchó toda la vida por las unidades racionales $(4\pi$ presente en la ley de la fuerza $)$ , tiene otro argumento interesante sobre la ventaja de este sistema frente a otros. Señala la capacidad de un condensador:

Un condensador de placa (con área $A$ , separación de placas $d$ ) en estas unidades racionales $(4\pi$ presente en la ley de la fuerza $)$ y en otras unidades $($ con $ 4\pi$ presente en las ecuaciones de Maxwell $)$ tiene una capacidad de
$$C=\frac{\epsilon A}{d}\tag{rational}$$ $$C=\frac{\epsilon A}{4\pi d}\tag{others}$$ y para un condensador esférico (radio $R$ , esfera exterior imaginada en el infinito): $$C=4\pi \epsilon R\tag{rational}$$ $$C=\epsilon R\tag{others}$$ Vemos que con unidades racionales el factor $4\pi$ aparece para la esfera. Para otras unidades no aparece para la esfera y sí para el condensador plano.

Heaviside hace entonces la siguiente comparación sorprendente: Al pasar de la medición de la distancia a la medición del área se podría definir como unidad de área la superficie de un círculo de radio $1$ . Esto sería lógicamente posible. Sin embargo, llevaría al extraño resultado de que un cuadrado con el lado $1$ tendría el área $\dfrac{1}{\pi}$ . Todo el mundo diría entonces que $\pi$ estaba en el lugar equivocado. Lo mismo dijimos del factor $4\pi$ en las fórmulas anteriores para las capacidades.

Answer 4

Cualquier ecuación diferencial de la forma $\nabla \cdot A = \alpha$ y $\nabla \wedge A = 0$ en $n$ -tiene como función de Green (es decir, la solución para una fuente puntual, para $\alpha = \delta$ la función delta de Dirac) un campo $G$ de la forma

$$G(r) = \frac{1}{S_{n-1}} \frac{\hat r}{|r|^{n-1}}$$

donde $S_{n-1}$ es la superficie de una unidad $n$ -bola, que sabemos que es $4\pi$ en 3d. El factor de $4\pi$ que aparece en muchas de estas ecuaciones de fuerza es intrínsecamente geométrica, y como se ha dicho, es confuso englobarla en una constante, especialmente si se trabaja fuera de 3d (véase, por ejemplo, el campo eléctrico de una carga lineal, que es un problema de 2d y por tanto tiene $2\pi$ aparecen en él, como circunferencia de un círculo unitario).

Answer 5

La razón principal es que facilita el cálculo y los resultados son más bonitos. Por ejemplo, supongamos que el campo (o la fuerza) viene dado por $$ E = \frac{1}{4\pi} f(\mathbf{r})$$ para alguna función $f(\mathbf{r})$ .

Si el sistema procesa simetría rotacional, tras la suma sobre la densidad, se obtendrá un factor de $2\pi$ . Si el sistema procesa simetría esférica, se obtendrá un factor de $4\pi$ . En ambos casos, la ecuación resultante no contiene $\pi$ factor. Es particularmente útil en la EM, ya que solemos considerar un proceso de distribución de densidad con cierta simetría.

Así que, por qué no hay $\pi$ en la gravedad newtoniana $F=GMm/r^2$ ?

Porque no hay tal necesidad. No se puede convertir un objeto macroscópico similar a un planeta en una barra infinitamente larga, en forma de disco o en alguna forma extraña. La gravedad sólo tiene un efecto significativo cuando acumula una gran masa, al mismo tiempo, se convierte en una esfera por su propia gravedad. Así que, básicamente, ya es un punto bueno como partícula cuando lo miramos a algún radio de distancia. El extra $\pi$ no facilitará ningún cálculo.