Base para una topología

Question

Puedo demostrar que $(a,b)$ donde $a,b$ son números racionales forman una base contable para la topología sobre $\mathbb{R}$ .

Pero, ¿cómo demostrar que la colección $[a,b]$ donde $a$ y $b$ son números racionales, es no una base para una topología en $\mathbb{R}$ ?

Answer 1

Tenga en cuenta que para ser una base para a topología en un conjunto $X$ , una colección $\mathcal{B}$ sólo tiene que cumplir las dos condiciones siguientes:

1. $\bigcup \mathcal{B} = X$ y
2. dado $U_1 , U_2 \in \mathcal{B}$ y $x \in U_1 \cap U_2$ hay un $V \in \mathcal{B}$ tal que $x \in V \subseteq U_1 \cap U_2$ .

Ahora la colección $\mathcal{B}$ de intervalos cerrados en $\mathbb{R}$ con puntos finales racionales satisface claramente la primera condición. En cuanto a la segunda condición, depende de los detalles. Si se permiten intervalos degenerados como $[a,a] = \{ a \}$ entonces $\mathcal{B}$ satisfará la segunda condición. Si no, no lo hará: considere $[ 0 , 1 ] \cap [ 1 , 2 ]$ .

Answer 2

La colección que menciona es una base para una topología en $\mathbb R$ . Es una base para una topología diferente a la estándar en $\mathbb R$ para el que describió una base contable. Dado que $[a,b]$ no está abierto en la topología estándar estos no pueden formar una base para la topología estándar.