probabilidad de aristas del tetraedro

Question

Si se eligen 6 números al azar, uniforme e independientemente, del intervalo [0,1], ¿cuál es la probabilidad de que sean las longitudes de las aristas de un tetraedro?

He escrito un código y he simulado esta probabilidad y supongo que la respuesta es 1/3.

En cuanto a la cuestión de las dos dimensiones es trivial encontrar eso: Si se eligen 3 números al azar, uniforme e independientemente, del intervalo [0,1], la probabilidad de que sean las longitudes de los lados de un triángulo es 1/2.

El caso de las tres dimensiones parece ser muy difícil de probar.

Además, esto es cierto (caso n-dimensional):

Si se eligen al azar n(n+1)/2 números, de forma uniforme e independiente, del intervalo [0,1], ¿cuál es la probabilidad de que sean las longitudes de las aristas (1 caras) de un simplex de n dimensiones?

Inspirado en los casos de 2 y 3 dimensiones sospecho que la respuesta es 1/n pero este parece ser una verdadera castaña.

Answer 1

Hay cuatro maneras de interpretar su pregunta:

1) calcular la probabilidad exacta cuando cada longitud $\ell_{ij}$ se elige independientemente

2) calcular la probabilidad exactamente cuando se eligen 6 números de forma independiente y se tiene libertad para asignarlos a las aristas de cualquier forma

3) quieres un límite inferior (digamos, 0,001) en cualquier caso

4) se quiere un límite inferior de 1/3 en cualquier caso

En el caso 1), considere el conjunto de posibles tetraedros 6-tuplas de longitudes de aristas como puntos en $\Bbb R^6$ . Básicamente se quiere calcular el volumen de este conjunto. Por desgracia, este conjunto no es convexo y está definido por desigualdades bastante desagradables (véase este El documento de Rivin que ya mencioné en este MO respuesta). Para obtener la convexidad, Rivin muestra que hay que considerar los cuadrados de las longitudes de las aristas. En otras palabras, el volumen deseado es un volumen de un cuerpo algebraico y es probable que no sea algebraico. Que sea 1/3 es dudoso.

En el caso de 2), el problema es mucho más difícil, ya que hay que tener en cuenta varias permutaciones. Para 3), es fácil: una perturbación suficientemente pequeña de las longitudes de un simplex regular funcionará. Para 4), esto puede ser cierto o no. Lo dudo un poco si no se permiten permutaciones, pero con las permutaciones no tengo ninguna intuición. En principio, se puede simplemente aproximar el volumen de un cuerpo en $\Bbb R^6$ Hay mejores formas de hacerlo que muestrear puntos al azar y comprobar si está ahí. En cualquier caso, es difícil imaginar cómo se puede extender esto a las simplices en una dimensión superior.