¿Puede alguien ayudarme a demostrar esta afirmación?
"Demuestre que si un polígono convexo está completamente dentro de otro polígono convexo, entonces el polígono exterior tiene un perímetro mayor o igual que el interior".
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
rjb
Puntos
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Lema: Si se corta un polígono convexo con una línea recta, se obtienen dos polígonos convexos, ambos con un perímetro menor o igual al del polígono original.
Prueba: Considere uno de los polígonos más pequeños. Su límite consiste en un trozo del límite del polígono original y una línea recta, que no es más larga (por la desigualdad del triángulo) que el otros trozo del límite del polígono original.
El problema: Si un polígono convexo está completamente dentro de otro polígono convexo, entonces el polígono exterior tiene un perímetro mayor o igual que el interior.
Prueba: Elige como línea recta la prolongación de uno de los lados del polígono interior. Utilízala para cortar la parte del polígono exterior que no contiene el polígono interior. Al cortar el polígono exterior de esta manera, su perímetro se hace más pequeño (por el lema), pero sigue conteniendo al polígono interior.
Ahora repite esto para todos los demás lados del polígono interior. Cada vez, el perímetro del polígono exterior restante disminuye, pero sigue conteniendo el polígono interior.
De hecho, después de terminar con todos los lados, el resto del polígono exterior es exactamente el polígono interior, y por construcción tiene un perímetro no mayor que el perímetro del polígono exterior original. $~~\square$
