Número de casillas en $(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})^\times$

Question

$x$ es un cuadrado en $(\mathbb{Z} /p \mathbb{Z})^\times$ si existe un $y \in (\mathbb{Z} /p \mathbb{Z})^\times$ tal que $x \equiv y^2 \mod p$ .

Se me pide que demuestre que hay exactamente $\frac{p-1}{2}$ cuadrados en $(\mathbb{Z} /p \mathbb{Z})^\times$ . ¿Cómo lo afronto?

Answer 1

Por supuesto, tiene que asumir $p$ impar. Obsérvese que el grupo multiplicativo $(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})^*$ tiene $p-1$ elementos.

Consideremos el homomorfismo de grupo $\rho\colon (\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})^*\to (\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})^*$ dado por $x\mapsto x^2$ . La imagen es el subgrupo $S\subset (\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})^*$ de cuadrados. Por lo tanto, $S$ es isomorfo a $(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})^*/\mathrm{Ker}(\rho)$ . Queda por demostrar que $\mathrm{Ker}(\rho)$ es de orden $2$ .

Esto puede verse, por ejemplo, en el hecho de que $(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})^*$ es cíclico.