La probabilidad de Generar una Gráfica Conectada a la Unidad de la Plaza

Question

$N$ puntos son generados aleatoriamente en la unidad cuadrados, con una distribución uniforme. ¿Cuál es la probabilidad de que se forma un grafo conexo, dado que los dos puntos están conectados iff la distancia entre ellos es menor que o igual a $d\in(0,\sqrt{2})$?

Esto, obviamente, deben ser algunas de las funciones de $N$$d$.

Answer 1

Vamos a la fuerza bruta. Comience con el código de Kruskal el algoritmo dey, a continuación, seleccione un número de puntos (como 10), y encontrar la distancia máxima requerida por la prueba de Kruskal más de 10000 ensayos. Con 10 puntos, 20 puntos, y 30 puntos, tengo figuras como las siguientes:

Aquí está el código para el 30 punto de la imagen.

Histogram[Table[Max[With[{pts = RandomReal[{0,1},{30,2}]},
EuclideanDistance[pts[[#]][[1]],pts[[#]][[2]]]&/@List@@@Kruskal[pts]]],{10000}]]

Parece que se podría ajustar una curva de distribución para los muy fácilmente. Pero más allá de los deberes de un brute forcer, lo voy a dejar ahí.