Sobre la anomalía axial

Question

Sé que si empezamos con una teoría masiva, los estados quirales $L$ y $R$ permanecen acoplados entre sí en el límite sin masa. Porque una partícula de Dirac cargada de una helicidad dada puede hacer una transición a un estado virtual de la helicidad opuesta emitiendo un fotón real (este es el origen físico de la anomalía). Además, la ausencia de masa de una teoría de campo de Dirac se expresa por la invariancia bajo una transformación quiral

$$\psi(x)\rightarrow\mathrm{e}^{-i\omega\gamma_5}\psi(x).$$

A partir del teorema de Noether, la invariencia quiral da una corriente axial-vectorial conservada

$$j_{5}^{\mu}=\bar{\psi}\gamma^{\mu}\gamma_{5}\psi,$$

y a partir de la E.o.M. para los campos de Heisenberg encontramos

$$\partial_{\mu}j_{5}^{\mu}=2mj_{5},$$

donde $j_5$ es la densidad quiral y $m$ es la masa. Esto es lo que no entiendo: Espero que en el límite $m\rightarrow 0$ esto debería ser cierto $\partial_{\mu}j_{5}^{\mu}\rightarrow 0$ . Pero no es así. Todos los libros de texto dan

$$\partial_{\mu}j_{5}^{\mu}=2mj_{5}+\frac{\alpha_0}{2\pi}\bar{F}^{\mu\nu}F_{\mu\nu}.$$

No puedo entender este resultado. No sé cómo derivarlo ni cuál es su interpretación física.

Answer 1

Permítanme añadir algunos comentarios a la respuesta/comentario de Michael Brown. Como él mencionó, una QFT está bien definida con una acción $and$ un regulador. Siempre deseamos utilizar reguladores que preserven la invariancia gauge, ya que ésta es una redundancia de nuestra descripción y no debe ser eliminada en nuestra teoría cuántica. Sin embargo, cualquier regulador que preserve la invariancia gauge, necesariamente viola la invariancia quiral. P&S menciona la posibilidad de tener reguladores no invariantes gauge que preservan la invariancia quiral, pero esta no es una definición deseable de nuestra teoría.

Otra forma de ver esto, es que los reguladores habituales utilizados para definir una teoría son la regularización dimensional y los Pauli-Villars. La PV requiere introducir una masa de fermión (grande) y rompe explícitamente la simetría quiral. El problema con Dimreg es más sutil. La simetría quiral implica la $\gamma^5$ matriz que sólo está bien definida en $d=4$ . Cuando se amplían las dimensiones a $d=4-\epsilon$ Hay que tener cuidado con el tratamiento de $\gamma^5$ . Resulta que mientras que la simetría quiral se restablece en las 4 dimensiones no lo hace en la $-\epsilon$ dimensiones (matemáticamente). Esto es lo que nos da la anomalía axial. P&S tiene una discusión sobre cómo tratar la $\gamma^5$ matriz en $d=4-\epsilon$ .

Todo esto se analiza en el capítulo 19 de P&S

Answer 2

Has hecho la pregunta correcta, yo también pensaba en ello al leer sobre la anomalía axial.

A continuación se muestra cómo me lo expliqué a mí mismo.

Como mencionas en tu pregunta, "... una partícula de Dirac cargada de una helicidad determinada puede hacer una transición a un estado virtual de la helicidad opuesta emitiendo un fotón real (este es el origen físico de la anomalía)".

Tenga en cuenta que

$\bar{F}^{\mu\nu}F_{\mu\nu}= - 2 \bf{E}\bf{B}$

donde $\bf{E}$ y $\bf{B}$ son las intensidades de campo eléctrico y magnético.

En el caso del fotón $\bf{E} \perp \bf{B}$ y por lo tanto $ \bf{E}\bf{B} = 0$ .

En consecuencia, en el límite de masa cero la simetría quiral se conserva:

$\partial_{\mu}j_{5}^{\mu}=\frac{\alpha_0}{2\pi}\bar{F}^{\mu\nu}F_{\mu\nu}=0$ .

EDIT :

De hecho, la ecuación espinorial para fermiones sin masa (como la ecuación de Dirac donde $m=0$ ) es siempre equivalente a las ecuaciones de Maxwell sin fuentes. Véase, por ejemplo, este enlace .