Cambio de variables en 3 dimensiones

Question

Considera la siguiente integral:

$$\int_{|x| = \epsilon} \phi(x) \frac{e^{-m|x|}}{4 \pi |x|^2} d^3x.$$

Quiero mostrar que esta integral va a $\phi(0)$ para $\epsilon \rightarrow 0$ . La idea es pasar a coordenadas esféricas:

$$\int_{|x| = \epsilon} \phi(x) \frac{e^{-m|x|}}{4 \pi |x|^2} d^3x = \frac{1}{4 \pi} \int_{S^2} \phi(x) \frac{e^{-m\epsilon}}{\epsilon^2} \epsilon^2 d\Omega = \frac{1}{4 \pi} \int_{S^2} \phi(x) {e^{-m\epsilon}} d\Omega $$ Ahora queremos sustituir $$y = x/|x|$$

$\frac{1}{4 \pi} \int_{S^2} \phi(x) {e^{-m\epsilon}} d\Omega = \frac{1}{4 \pi} \int_{S^2} \phi(\epsilon y) {e^{-m\epsilon}} d\Omega $

En el último paso es donde no estoy seguro de lo que ocurre. De alguna manera la variable infinitesimal debería cambiar también, pero no estoy muy seguro de cómo.

¿Podría alguien aclarármelo?

¡Salud!

Answer 1

Lo que creo que te falta es la relación

$$d\Omega = \sin{\theta} \, d\theta \, d\varphi$$

donde $\theta \in [0,\pi]$ y $\varphi \in [0,2 \pi]$ . Su integral se parece a

$$\frac{e^{-m \epsilon}}{4 \pi} \int_0^{2 \pi} d\varphi \, \int_0^{\pi} d\theta \, \sin{\theta} \, \phi(\theta,\varphi)$$

Como $\epsilon \to 0$ el numerador pasa a $1$ y se queda con el valor medio de $\phi$ sobre la esfera, que por el teorema del valor medio para la esfera, toma el valor en el centro de la esfera, o $\phi(0,0)$ .