arctan mapea el disco unitario en una banda alrededor del eje imaginario

Question

Dejemos que $D\subseteq\mathbb{C}$ sea el disco unitario; es decir $D=\{z\in\mathbb{C}:\ |z|<1\}$ . Sea $B\subseteq \mathbb{C}$ ser una banda alrededor del eje imaginario: $B=\{z\in\mathbb{C}:\ |\text{Re}(z)|<\pi/4\}$ .

¿Por qué se sostiene que la rama principal de $\arctan$ mapas $D$ Conforme en $V$ ?

Answer 1

Aquí hay un intento: deja $U=\left\{z\in\mathbb{C}:\ \text{Re}(z)>0\right\}$ . Definir $g:V\to U$ de la siguiente manera: \begin{equation*} g(z) = g(x+yi) = \exp(-2y + 2xi). \end{equation*}

Tenemos que $g$ mapas $V$ conforme a $U$ . Ahora defina $h:U\to D$ como siguiente: \begin{equation*} h(z) = \frac{i(1-z)}{1+z} \end{equation*}

Tenemos que $h$ mapas $U$ conforme a $D$ (es una transformación de Möbius). De ello se desprende que \begin{equation*} \tan{z} = \frac{\sin z}{\cos z} = \frac{i\left(1-e^{2iz}\right)}{1+e^{2iz}} = h\circ g (z) \end{equation*} mapas $V$ conforme a $D$ Así pues, la principal rama de $\arctan{z}$ mapas $D$ conforme a $V$ .