Un compañero ha planteado la siguiente pregunta y me gustaría dejar de pensar en ella para poder volver a trabajar en mi propia investigación.
Supongamos que $A>0$ es decir $A$ es una matriz real simétrica positiva definida, y $B$ es una matriz real simétrica no singular.
¿Qué podemos decir de los valores propios de $AB$ ? Por ejemplo, supongamos que $B$ tiene $n$ positivo y $m$ valores propios negativos. Will $AB$ tienen el mismo número de valores propios positivos y negativos?
Obviamente, si $B$ es positiva o negativa definida, el resultado es sencillo, es decir, tenemos las "reglas de signo de la matriz
$$ (+)\cdot (+)=(+)\qquad\text{and}\qquad (+)\cdot(-)=(-) $$ Con esto queremos decir que "una definida positiva por una definida positiva tiene valores propios positivos" y "una definida positiva por una definida negativa tiene valores propios negativos".
Jugar con descomposiciones matriciales como la polar, la espectral, etc., e identidades como $\{\lambda(AB)\}=\{\lambda(\sqrt{A}B\sqrt{A})\}$ (aquí $\lambda(\cdot)$ que significa "valores propios de") no parece conducir a un resultado rápido.
¿Alguna idea?
