Teorema de incrustación de Nash para variedades 2D

Question

El teorema de incrustación de Nash nos dice que toda m-manifold lisa de Riemann puede ser incrustada en $R^n$ para, digamos, $n = m^2 + 5m + 3$ . ¿Qué podemos decir en el caso especial de los 2-manifolds? Por ejemplo, ¿podemos incrustar siempre un 2manifold en $R^3$ ?

Answer 1

Últimamente he estado diseñando y fabricando colecciones de piezas, cortadas de espuma con un cortador controlado por ordenador, que pueden unirse entre sí de forma intercalada para aproximarse a una superficie arbitraria, por lo que me he dado cuenta de algunas de las obstrucciones a las incrustaciones isométricas suaves. (Algunas de las versiones anteriores del sistema de modelado se muestran en el página de inicio de Kelly Delp, con quien he estado colaborando). Aquí hay dos ejemplos:

texto alternativo http://dl.dropbox.com/u/5390048/genus_2.gif texto alternativo http://dl.dropbox.com/u/5390048/orange_torus.gif

Parece una cuestión interesante dar buenas condiciones suficientes más allá del caso de curvatura no negativa y buenas condiciones de obstrucción, más allá de las condiciones que esbozaré a continuación. (No soy un experto en estas cosas, así que puede haber mucho más que se sepa).

En primer lugar, cualquier superficie lisa y cerrada $M^2$ en $\mathbb{R}^3$ si se piensa en el mapa de Gauss (el punto del vector normal unitario, trasladado para estar basado en el origen), es evidente que el cierre del subconjunto de $M^2$ que tiene curvatura gaussiana positiva se mapea de forma subjetiva --- basta con tomar el punto de la superficie que maximiza el producto interior con un vector en esa dirección. En otras palabras, debe haber al menos $4\pi$ valor de la curvatura positiva. (Para los juegos de construcción, esto da una desigualdad lineal para cuántas costuras de varios tipos se necesitan para construir una superficie cerrada en el espacio).

La condición anterior no es suficiente. Si se parte de un toro estándar obtenido como círculo de revolución, el mapa de Gauss cubre la esfera precisamente dos veces, una con orientación positiva desde la parte exterior y otra en sentido negativo desde la parte interior. La parte con orientación positiva se encuentra con la parte con orientación negativa en dos círculos redondos, a lo largo de los cuales los vectores normales son paralelos, por lo que el mapa de Gauss es constante. Para cualquier ligera perturbación de esta superficie en el espacio, el mapa de Gauss cambia, pero el área de las dos regiones es constante hasta el primer orden: el área de la imagen cambia por el área barrida por la curva límite en evolución, pero las curvas límite de la imagen de Gauss de longitud cero tienen que crecer antes de empezar a captar área.

Es fácil perturbar la métrica de un toro redondo para que la parte positiva total de la curvatura gaussiana aumente hasta el primer orden. Estas perturbaciones de la métrica no pueden extenderse a las perturbaciones de la incrustación. Si se hace esta perturbación en una porción del toro, medio panecillo por así decirlo, aumenta su ángulo de curvatura.

No conozco por el momento una prueba rigurosa de que haya no incrustaciones suaves de estas métricas perturbadas, pero sospecho que se podría dar una prueba. (Si uno tuviera una secuencia de métricas eaproximadas, una cuestión técnica es que podrían admitir incrustaciones con una variación cada vez mayor de la 2ª derivada, por lo que el límite podría ser un no $C^2$ incrustación de las incrustaciones de Nash-Kuiper, tal como las describe Deane Yang).

En la práctica, las construcciones hechas con trozos de espuma que se aproximan a un toro de revolución son sorprendentemente rígidas --- hay muy poca tolerancia para modificar la incrustación de manera que se cierre si no quiere.

Por otro lado, si cambias la forma del toro para añadir un efecto sacacorchos, el mapa de Guass en el límite entre positivo y negativo ya no es constante. Estas formas tienen una capacidad mucho mayor para acomodar un cambio en la métrica.

Es fácil encontrar muchos otros ejemplos de superficies en las que hay componentes de la parte curva positiva limitadas por curvas que tienen vectores normales paralelos; la gente suele dibujarlas instintivamente. Todas estas superficies están limitadas por el mismo tipo de rigidez.

Hay otra clase de obstrucciones que conozco que a partir del teorema de Hilbert de que para cualquier superficie hiperbólica con una inmersión isométrica analítica real en el espacio, la curvatura total |Gaussiana encerrada| por un cuadrilátero de líneas asintóticas es menor que $2\pi$ (el límite superior de las áreas de los cuadriláteros en el plano hiperbólico). Posteriormente se ha generalizado de varias maneras, pero no estoy al día de lo que se sabe. El problema es que no es fácil saber de antemano cuáles serán las líneas asintóticas. Sin embargo, esto da algunas obstruciones cualitativas, por lo que sospecho que se podría demostrar que si se toman dos copias de un disco grande en el plano hiperbólico y se hace un puente entre ellas mediante un anillo de curvatura positiva, la métrica resultante en la esfera no tiene $C^2$ incrustación isométrica. Si se hacen modelos de papel, en la práctica se obtienen bordes rizados que son cualitativamente incompatibles con una $C^2$ aproximación isométrica, porque los campos lineales asintóticos giran de forma homotópica no trivial.

Answer 2

El teorema de incrustación de Nash-Kuiper afirma que cualquier manifiesto orientable de 2 dimensiones es isométrico ${\cal C}^1$ -incorporable en $\mathbb{R}^3$ . Un teorema de Thompkins [citado más adelante] implica que tan pronto como uno se mueve a ${\cal C}^2$ , incluso plano compacto $n$ -manifoldos no pueden ser isométricos ${\cal C}^2$ -sumergido en $\mathbb{R}^{2n-1}$ . Así que la respuesta a tu pregunta para las incrustaciones suaves es: No como otros han señalado. Creo que Gromov redujo la dimensión que citas del espacio necesario para cualquier superficie compacta a 5 pero no tengo una referencia precisa para eso.

Tompkins, C. "Isometric embedding of flat manifolds in Euclidean space," Duke Math.J. 5 (1): 1939, 58-61.

Editar. Tanto Deane Yang como Willie Wong tenían razón en que el resultado de Gromov está en Relaciones diferenciales parciales . Creo que es esto, en la p.298: "Construimos aquí una isometría $\cal{C}^\infty$ ( $\cal{C}^{\mathrm{an}}$ )-imbedding de $(V,g) \rightarrow \mathbb{R}^5$ para todas las superficies compactas $V$ ." $g$ es una métrica de Riemann en $V$ .

Answer 3

Me gustaría resumir y ampliar lo que se ha dicho:

En primer lugar, las superficies cerradas no orientables, como la botella de Klein, no tienen incrustación topológica en $R^3$ y por lo tanto no hay incrustación isométrica.

La cuestión es más razonable si se restringe, por ejemplo, a las superficies orientables cerradas. Sin la obstrucción topológica, se trata de una pregunta sobre soluciones globales del sistema de EDP dado por la condición de isometría. Pero no cualquier solución global. Una solución global es necesariamente una inmersión, pero no necesariamente una incrustación. Además, el sistema de EDP es bastante desagradable. Puede reescribirse como una única ecuación de Monge-Ampere, cuyo tipo viene determinado por el signo de la curvatura de Gauss, de modo que la ecuación es elíptica cuando la curvatura de Gauss es positiva e hiperbólica cuando la curvatura es negativa. Cerca de un punto en el que la curvatura de Gauss cambia de signo pero tiene gradiente no nulo, la ecuación se denomina "tipo Tricomi".

Como ha señalado José, existe un obstáculo geométrico para las soluciones globales: cualquier superficie isométrica incrustada tiene al menos dos puntos con curvatura de Gauss positiva (dados por los dos puntos de contacto de una esfera osculante). Así, por ejemplo, las superficies orientables con curvatura no positiva no tienen incrustación isométrica en $R^3$ .

En este punto, si todavía estás centrado en las incrustaciones isométricas en $R^3$ entonces la cuestión es si cualquier superficie orientada con "suficiente" curvatura de Gauss positiva es isométricamente incrustada. El único resultado que conozco en este sentido es la solución de Nirenberg al problema de Weyl, que afirma que cualquier superficie cerrada con curvatura de Gauss positiva tiene una incrustación isométrica única en $R^3$ . Esto y la solución de Nirenberg al problema de Minkowski en 2 dimensiones lanzaron una era dorada de uso de la teoría de las EDP elípticas no lineales para resolver muchos problemas globales difíciles en la geometría diferencial, como ejemplifican los trabajos de Yau y Schoen.

O puedes ir a dimensiones superiores. A estas alturas no recuerdo los detalles, pero creo que es correcto que Gromov demostró que cualquier superficie bidimensional puede estar incrustada isométricamente en $R^5$ . Tampoco recuerdo dónde se da la prueba, pero el primer lugar donde buscar es su libro, Partial Differential Relations, donde muestra cómo resolver sistemas de EDP subdeterminadas utilizando técnicas "blandas" como el principio h. Las ideas de este libro se sitúan en algún lugar entre el análisis duro de la teoría de las EDP (de hecho, proporciona una demostración del teorema de la función implícita de Nash-Moser) y el enfoque suave o "flojo" de la topología. La prueba o una referencia a ella debería estar en algún lugar del libro.

Answer 4

No estoy convencido de que esta sea una pregunta apropiada, pero dando el beneficio de la duda y ya que el OP probablemente no es un geómetra...

El toro plano no puede ser sin problemas incrustado en $\mathbb{R}^3$ isométricamente. Como el toro es compacto, cualquier toro incrustado se encuentra en el interior de alguna esfera centrada en el origen. Disminuye el radio de la esfera hasta que toque el toro por primera vez. En el punto de contacto, la curvatura del toro coincide con la de la esfera y, por tanto, es positiva.

Answer 5

Hay material interesante sobre las superficies de incrustación en $R^3$ en el libro

Incrustación isométrica de variedades riemannianas en espacios euclidianos por Qing Han y Jia-Xing Hong, AMS, 2006. Véase este enlace .

Además, parece que incluso incrustar una pequeña vecindad de un punto puede ser problemática pero no sé si hay un contraejemplo suave.