¿Qué soluciones exactas de las ecuaciones clásicas de Yang-Mills se conocen?

Question

Estoy interesado en el caso gauge puro (sin campos de materia) en el espaciotiempo de Minkowski con grupos gauge simples. Estaría bien si alguien puede encontrar un artículo de revisión que discuta todas esas soluciones

EDIT: Creo que son relevantes para la física de las QFT correspondientes en el régimen de alta energía / pequeña escala. Esto se debe a que la integral de trayectoria para una teoría Yang-Mills gauge pura es de la forma

$$\int \exp\left(\frac{iS[A]}{ \hbar}\right) \, \mathcal{D}A$$

En altas energías tenemos el comportamiento del grupo de renormalización $g \to 0$ (libertad asintótica) que puede describirse de forma equivalente fijando $g$ y dejar que $\hbar \to 0$ .

EDIT: Para el propósito de esta pregunta, una solución "exacta" es una solución en forma cerrada módulo de funciones de una sola variable definida por ciertas EDOs y condiciones iniciales / de contorno.

Answer 1

Wu y Yang (1968) encontraron una solución estática a las ecuaciones SU(2) de Yang-Mills sin fuente, (por favor, ver los siguientes dos artículos relativamente recientes que contienen una descripción bastante detallada de la solución: Marinho, Oliveira, Carlson, Frederico y Ngome La solución constituye una generalización del monopolo abeliano de Dirac. El potencial vectorial viene dado por:

$A_i^a=g \epsilon_{iaj}x^j\frac{f(r)}{r^2}$

donde $f(r)$ satisface una ecuación radial no lineal (la ecuación de Wu-Yang) obtenida a partir de la sustitución de este ansatz en las ecuaciones de campo de Yang-Mills.El monopolo de Wu-Yang tiene una singularidad en el origen, en la que la densidad de energía magnética diverge. El primer artículo contiene referencias a trabajos fenomenológicos relacionados con el monopolo de Wu-Yang.

Answer 2

Hay una vieja revisión, Alfred Actor, Classical solutions of SU(2) Yang-Mills theories, Rev. Mod. Phys. 51, 461-525 (1979), que proporciona algunas de las soluciones conocidas de la teoría gauge SU(2) en el espacio de Minkowski (monopolos, ondas planas, etc.) y en el espacio euclidiano (instantones y sus primos). Para grupos gauge generales se pueden obtener soluciones incrustando SU(2)'s. Para los instantones se conoce la solución más general, primero elaborada por ADHM (Atiyah, Hitchin, Drinfeld, Manin) para los grupos clásicos SU,SO,Sp, y luego por Bernard, Christ, Guth, Weinberg para los grupos excepcionales. La última vuelta de tuerca a la historia de los instantones es la construcción de soluciones con holomonia no trivial: ``Instantones periódicos con holonomía no trivial''. Kraan, van Baal, Nucl.Phys. B533 (1998) 627-659. Hay un buen conjunto de notas de clase de David Tong en soluciones topológicas con diferentes codimensiones (instantones, monopolos, vórtices, paredes de dominio). Sin embargo, hay que tener en cuenta que, excepto en el caso de los instantones, estas soluciones suelen requerir escalares adicionales y U(1) rotos, como se puede encontrar en las teorías gauge de susy.

Answer 3

Las soluciones exactas podrían no ser el camino correcto para entender el comportamiento infrarrojo de la teoría de Yang-Mills. Como sabemos de la teoría cuántica de campos, podemos empezar con alguna aproximación (acoplamiento débil). Teniendo esto en cuenta, se puede demostrar que se cumple lo siguiente (ver http://arxiv.org/abs/0903.2357 ) para un acoplamiento gauge que va formalmente al infinito

$$ A_\mu^a(x)=\eta_\mu^a\phi(x)+O(1/\sqrt{N}g) $$

ser $\eta_\mu^a$ un conjunto de constantes y $\phi(x)$ una solución a la ecuación

$$ \Box\phi(x)+\lambda\phi(x)^3=0. $$

proporcionado $\lambda=Ng^2$ . Este es el contenido del llamado teorema del mapa. El aspecto relevante de este teorema es que se puede proporcionar un conjunto de soluciones exactas para el campo escalar de la forma

$$ \phi(x)=\mu\left(\frac{2}{\lambda}\right)^\frac{1}{4}{\rm sn}(p\cdot x+\theta,i) $$

ser $\mu$ y $\theta$ constantes, sn una función elíptica de Jacobi y siempre que se cumpla la siguiente relación de dispersión

$$ p^2=\mu^2\left(\frac{\lambda}{2}\right)^\frac{1}{2}. $$

Es decir, se tienen soluciones clásicas masivas aunque se parta de ecuaciones sin masa. Por lo tanto, podemos partir de estas soluciones clásicas aproximadas para construir una teoría cuántica de campo infrarroja para el campo de Yang-Mills y mostrar de esta manera una brecha de masa (ver http://arxiv.org/abs/1011.3643 ).

Answer 4

En este documento de estudio también se pueden encontrar varias soluciones exactas (sobre todo las que son invariantes bajo un determinado subgrupo del grupo de simetría completo del sistema en cuestión) para las ecuaciones de Yang Mills de SU(2), incluyendo el caso de la firma de Minkowski:

R.Z. Zhdanov, V.I. Lahno, Symmetry and Exact Solutions of the Maxwell and SU(2) Yang-Mills Equations, arXiv:hep-th/0405286

Además, si uno está dispuesto a mantener la firma de Minkowski permitiendo una topología global distinta de $\mathbb{R}^4$ Este documento podría ser de interés:

A.D. Popov, Explicit Non-Abelian Monopoles and Instantons in SU (N) Pure Yang-Mills Theory, Phys. Rev. D77 (2008), 125026, arxiv:0803.3320