Valor de $\lim_{n\to \infty}\frac{1^n+2^n+\cdots+(n-1)^n}{n^n}$

Question

Recuerdo que hace un par de años un amigo me mostró y algunas otras personas de la siguiente expresión:

$$\lim_{n\to \infty}\frac{1^n+2^n+\cdots+(n-1)^n}{n^n}.$$

Como se muestra a continuación, puedo demostrar que este límite existe por el teorema de convergencia monótona. También recuerdo que mi amigo dio una muy dudosa "prueba" de que el valor del límite es $\frac{1}{e-1}$. No recuerdo los detalles de la prueba, pero estoy bastante seguro de que lo hizo en el error común de tratamiento de la $n$ como una variable en algunos lugares, algunas veces, y como una constante en otros lugares y en otros tiempos. Sin embargo, el análisis numérico sugiere que el valor de mi amigo dio fue correcta, aunque sus métodos eran defectuosas. Mi pregunta es entonces:

¿Cuál es el valor de este límite y ¿cómo podemos demostrar rigurosamente?

(También, para los puntos de bonificación, Lo que podría de mi amigo el original de la prueba ha sido y es de lo que fue su error, si lo hay?)

Yo doy mi prueba de convergencia a continuación en dos partes. En ambas partes, puedo definir la secuencia de $a_n$ $a_n=\frac{1^n+2^n+\cdots+(n-1)^n}{n^n}$ para todos los enteros $n\ge 2$. En primer lugar, puedo demostrar que $a_n$ está acotada arriba por $1$. En segundo lugar, demostrar que $a_n$ es cada vez mayor.

(1) La secuencia de $a_n$ satisface $a_n<1$ todos los $n\ge 2$.

Tenga en cuenta que $a_n<1$ es equivalente a $1^n+2^n+\cdots+(n-1)^n<n^n$. Puedo demostrar esta segunda declaración de la inducción. Observar que $1^2=1<4=2^2$. Ahora supongamos que $1^n+2^n+\cdots+(n-1)^n<n^n$ para algunos entero $n\ge 2$. Entonces

$$1^{n+1}+2^{n+1}+\cdots+(n-1)^{n+1}+n^{n+1}\le(n-1)(1^n+2^n+\cdots+(n-1)^n)+n^{n+1}<(n-1)n^n+n^{n+1}<(n+1)n^n+n^{n+1}\le n^{n+1}+(n+1)n^n+\binom{n+1}{2}n^{n-1}+\cdots+1=(n+1)^{n+1}.$$

(2) La secuencia de $a_n$ es el aumento para todos los $n\ge 2$.

Primero debemos demostrar los siguientes preliminar de la proposición. (No estoy seguro de si "lema" es apropiado para esto.)

(2a) Para todos los enteros $n\ge 2$ y $2\le k\le n$, $\left(\frac{k-1}{k}\right)^n\le\left(\frac{k}{k+1}\right)^{n+1}$.

Se observa que el $k^2-1\le kn$, por lo que al momento de la división por $k(k^2-1)$, obtenemos $\frac{1}{k}\le\frac{n}{k^2-1}$. Por la Desigualdad de Bernoulli, podemos encontrar:

$$\frac{k+1}{k}\le 1+\frac{n}{k^2-1}\le\left(1+\frac{1}{k^2-1}\right)^n=\left(\frac{k^2}{k^2-1}\right)^n.$$

Un poco de multiplicación y llegamos a $\left(\frac{k-1}{k}\right)^n\le\left(\frac{k}{k+1}\right)^{n+1}$.

Ahora podemos aplicar primero esta a ver que $\left(\frac{n-1}{n}\right)^n\le\left(\frac{n}{n+1}\right)^{n+1}$. A continuación, supongamos que para algún entero$2\le k\le n$,$\left(\frac{k}{n}\right)^n\le\left(\frac{k+1}{n+1}\right)^{n+1}$. Entonces:

$$\left(\frac{k-1}{n}\right)^n=\left(\frac{k}{n}\right)^n\left(\frac{k-1}{k}\right)^n\le\left(\frac{k+1}{n+1}\right)^{n+1}\left(\frac{k}{k+1}\right)^{n+1}=\left(\frac{k}{n+1}\right)^{n+1}.$$

Por atrás (finito) de la inducción de$n$, $\left(\frac{k}{n}\right)^n\le\left(\frac{k+1}{n+1}\right)^{n+1}$ para todos los enteros $1\le k\le n$, así:

$$a_n=\left(\frac{1}{n}\right)^n+\left(\frac{2}{n}\right)^n+\cdots+\left(\frac{n-1}{n}\right)^n\le\left(\frac{2}{n+1}\right)^{n+1}+\left(\frac{3}{n+1}\right)^{n+1}+\cdots+\left(\frac{n}{n+1}\right)^{n+1}<\left(\frac{1}{n+1}\right)^{n+1}+\left(\frac{2}{n+1}\right)^{n+1}+\left(\frac{3}{n+1}\right)^{n+1}+\cdots+\left(\frac{n}{n+1}\right)^{n+1}=a_{n+1}.$$

(De hecho, esto demuestra que $a_n$ es estrictamente creciente.) Por el teorema de convergencia monótona, $a_n$ converge.

Debo señalar que yo no soy especialmente bien practicado en probar este tipo de desigualdades, por lo que yo he dado de una forma mucho más complicada prueba de lo necesario. Si este es el caso, no dude en explicar en un comentario o en su respuesta. Me encantaría conseguir un mejor agarre en estas desigualdades, además de la búsqueda de lo que el límite es.

Gracias!

Answer 1

El límite es de $\frac{1}{e-1}$. Yo escribí un artículo sobre esta suma hace varios años y se utiliza de Euler-Maclaurin fórmula para probar el resultado. El papel es "El de Euler-Maclaurin de la Fórmula y las Sumas de las Potencias," Mathematics Magazine, 79 (1): 61-65, 2006. Básicamente, yo uso el de Euler-Maclaurin fórmula para la suma de intercambio con la correspondiente integral. Luego, después de algunos análisis asintótico en el término de error proporcionados por Euler-Maclaurin llegamos $$\lim_{n\to \infty}\frac{1^n+2^n+\cdots+(n-1)^n}{n^n} = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{B_k}{k!},$$ donde $B_k$ $k$th número de Bernoulli. La exponencial de la generación de la función de los números de Bernoulli, a continuación, proporciona la $\frac{1}{e-1}$ resultado.

Debo mencionar que he cometido un error en el original de la prueba, aunque! La corrección, así como la generalización de $$\lim_{n\to \infty}\frac{1^n+2^n+\cdots+(n+k)^n}{n^n} = \frac{e^{k+1}}{e-1}$$ están contenidas en una carta al editor (Mathematics Magazine 83 (1): 54-55, 2010).

Answer 2

Podemos probar esto por simple presión). Utilizando el hecho de que $A>B>0$ implica $A^n-B^n \leq n(A-B)A^{n-1}$, y los hechos que $e^{-x}\leq\frac{1}{1+x},e^x\geq 1+x+\frac{x^2}{2}$, tenemos:

$$ e^{-k} - \left(1-\frac{k}{n}\right)^n \leq n\left(e^{-k/n}-1+\frac{k}{n}\right)e^{-k\,\frac{n-1}{n}}\leq e\cdot\frac{k^2 e^{-k}}{n+k}\leq \frac{2e}{n+k},$$

así:

$$\sum_{k=1}^{n}\left(e^{-k}-\left(1-\frac{k}{n}\right)^n\right)\leq \frac{2e}{n}\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{1+k/n}\leq\frac{2e}{n}\int_{1}^{2}\frac{dx}{1+x}<\frac{9}{4n},$$

entonces:

$$\lim_{n\to+\infty}\sum_{k=1}^{n}\left(1-\frac{k}{n}\right)^n=\lim_{n\to+\infty}\sum_{k=1}^{n}e^{-k} = \frac{e}{e-1}, $$

no hay necesidad de utilizar cualquier técnica avanzada.

Answer 3

Podemos escribir $a_n=\sum_{k=1}^{n-1}\left(1-\frac{k}{n}\right)^n$. El límite dado puede entonces escribirse en la forma $$ \lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^\infty\left[1-\frac{k}{n}\right]_+^n $$ (donde $[x]_+$ es la parte positiva, es decir, $[x]_+=x$ si $x\geq0$, $0$ de lo contrario).

Yo reclamo que fija $k$, $\left[1-\frac{k}{n}\right]_+^n$ no es una función decreciente de $n$. Esto significa que podemos pasar el límite interior de la suma. El valor de limitación de la $k$-ésimo término es $e^{-k}$, por lo que el valor del límite es $$ \sum_{k=1}^\infty e^{-k}=\frac{1}{e-1} $$