Parece que estás buscando una transformación afín, es decir, una función $\varphi: \Bbb R^3 \to \Bbb R^3$ tal que
$$\varphi(x) = Ax + b = \begin{pmatrix} a_{11} &a_{12} &a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33} \end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}b_1\\b_2\\b_3\end{pmatrix} $$
que mapea cada punto $(x,y,z)$ . A grandes rasgos, la matriz $A$ es responsable de las rotaciones y la escala, y el vector columna $b$ es responsable de las transformaciones. Por ejemplo, la transformación afín que movería su forma una unidad hacia arriba a lo largo del $z$ El eje corresponde a
$$\varphi: x \to x + \begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}$$
así que en este caso $A = I_3$ y $b = (0,0,1)^T$ . La transformación afín que gira en torno a la $z$ El eje corresponde a
$$ \varphi: x \to \begin{pmatrix}\cos(\theta)&-\sin(\theta)&0\\\sin(\theta)&\cos(\theta)&0\\0&0&1 \end{pmatrix}x. $$
Aquí, $b = (0,0,0)^T$ .
En su caso, se le da una serie de entradas $(x_1,x_2,x_3)^T$ y salidas $\varphi((x_1,x_2,x_3)^T)$ . En realidad, no tienes que preocuparte de averiguar qué componente de la transformación es la rotación, la traslación o la escala. Sólo tienes que tener suficientes puntos dados en tu forma para que puedas encontrar valores únicos de $A$ y $b$ que resuelvan su problema.
Suponiendo que exista una solución (que debería existir, dada la naturaleza de su problema), necesitará $4$ puntos dados para resolver el problema. Llama a estos puntos $w = (w_1,w_2,w_3)$ , $x = (x_1,x_2,x_3)$ , $y = (y_1,y_2,y_3)$ y $z = (z_1,z_2,z_3)$ . Del mismo modo, dejemos que $\varphi(w) = (w_1',w_2',w_3')$ etc. Multiplicando la ecuación $\varphi(x) = Ax+b$ fuera, vemos que
$$\tag{1} \begin{pmatrix} w_1'\\w_2'\\w_3' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_{11} &a_{12} &a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33} \end{pmatrix}\begin{pmatrix}w_1\\w_2\\w_3\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}b_1\\b_2\\b_3\end{pmatrix} $$
Esto da un sistema de tres ecuaciones simultáneas, una en cada fila. La ecuación que se obtiene con sólo mirar la primera fila tiene el siguiente aspecto:
$$ w_1' = a_{11}w_1 + a_{12}w_2 + a_{13}w_3 + b_1$$
Cuando conectamos los otros tres puntos $x$ , $y$ y $z$ en la ecuación $\varphi(x) = Ax + b$ y sólo miramos la primera fila, obtenemos ecuaciones similares:
$$ x_1' = a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + a_{13}x_3 + b_1$$ $$ y_1' = a_{11}y_1 + a_{12}y_2 + a_{13}y_3 + b_1$$ $$ z_1' = a_{11}z_1 + a_{12}z_2 + a_{13}z_3 + b_1$$
Ahora debería estar claro por qué necesitábamos $4$ puntos. Hay cuatro incógnitas: $a_{11}, a_{12}, a_{13}$ y $b_1$ . Los valores de $x$ , $y$ , $z$ y $w$ (y sus imágenes $x'$ , $y'$ , $z'$ y $w'$ ). Así que necesitamos cuatro ecuaciones lineales en estas cuatro incógnitas para encontrar una solución. Para encontrar realmente la solución, observa que se trata de un sistema de ecuaciones en cuatro variables de la forma
$$ \begin{pmatrix}w_1'\\x_1'\\y_1'\\z_1'\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} w_1&w_2&w_3&1\\x_1&x_2&x_3&1\\y_1&y_2&y_3&1\\z_1&z_2&z_3&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}a_{11}\\a_{12}\\a_{13}\\b_1 \end{pmatrix} $$
que debería ser capaz de resolver para $(a_{11},a_{12},a_{13},b_1)^T$ utilizando los métodos típicos. Si se hace lo mismo con las otras dos filas de la ecuación matricial original $(1)$ , puede encontrar de forma similar $(a_{21},a_{22},a_{23},b_2)^T$ y $(a_{31},a_{32},a_{33},b_3)^T$ . Eso te da la transformación afín completa $Ax + b$ .
