Simplificar una expresión trigonométrica inversa

Question

El problema pide simplificar la expresión

$\arccos (\frac 3 5 \cos x + \frac 4 5 \sin x)$

donde $x \in \; [\frac {-3\pi} 4 , \frac \pi 4]$ .

Este es mi enfoque.

Dejemos que $\frac 3 5 = r \cos y$ y $\frac 4 5 = r \sin y$ .

Por lo tanto, $r^2 = 1 \implies r = \pm 1\\ y = \arctan \frac 4 3$

Sustitución de $\frac 3 5$ y $\frac 4 5$ con sus supuestos valores en la expresión dada obtenemos,

$\arccos \; [r(\cos x \cos y + \sin x \sin y)]$

Ahora, surgen dos casos.

Caso-I $(r = 1)$

La expresión dada se convierte en,

$\arccos \; [\cos(x - y)]\\ = x - y\\ = x - \arctan \frac 4 3$

Otra respuesta equivalente es $\arctan \frac 4 3 - x$ . Esta es la única respuesta según mi libro.

Caso-II $(r = -1)$

La expresión dada se convierte en,

$\arccos \; [-\cos(x - y)]\\ = \pi - (x - y)\\ = \pi - x + \arctan \frac 4 3$

Ahora bien, esta respuesta es la que ha creado el problema. Mi libro no da esta respuesta. ¿Esta respuesta es incorrecta? ¿Tiene algo que ver con el intervalo en el que $x$ ¿mentiras? O hay algo mal en mi enfoque. Quiero decir que si supongo $\frac 3 5$ y $\frac 4 5$ como sólo $\cos y$ y $\sin y$ respectivamente, no tendría este problema. Cualquier ayuda será apreciada.

Editar

Como puedo suponer $\frac 3 5$ y $\frac 4 5$ para ser $\cos y$ y $\sin y$ respectivamente, creo que no hay nada malo en asumirlos como $-\cos y$ y $-\sin y$ o bien. ¿O hay algo malo en esta suposición? Si no tiene nada de malo, ¿qué pasa con las respuestas que obtenemos con esta suposición? ¿No son también correctas? Entonces, ¿no debería $\frac 3 5$ y $\frac 4 5$ como $\pm \cos y$ y $\pm \sin y$ respectivamente?

Answer 1

En primer lugar, no es necesario considerar dos casos. Dado que $y$ no es parte del problema original, sino una nueva cantidad que estás introduciendo (definiendo, eligiendo) tú mismo, eres libre de definirla como $y=\arctan\frac{4}{3}$ es decir, puede elegir $r=1$ .

Ahora, a los errores reales. La afirmación de que " $x-\arctan\frac{4}{3}$ equivale a $\arctan\frac{4}{3}-x$ "es simplemente un error - son diferentes valores, negativos unos de otros. En cambio, necesitas entender por qué tu respuesta no es correcta pero la del libro de texto sí lo es (¿o sí?). Y el problema es que puedes NO deduzcan que $\color{magenta}{\arccos(\cos(\alpha))=\alpha}$ en general, sólo es cierto cuando $\color{red}{\alpha\in[0,\pi]}$ .

En este problema, por la definición de la función arctangente, $y=\arctan\frac{4}{3}\in\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right)$ . Además, como $\frac{4}{3}>1=\tan\frac{\pi}{4}$ En realidad, podemos concluir que $y\in\left(\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{2}\right)$ . Combinando esto con el rango dado para $x$ vemos que $$x\le\frac{\pi}{4} \quad \text{and} \quad y>\frac{\pi}{4} \quad \Longrightarrow \quad x-y<0,$$ así que $\color{red}{x-y\notin[0,\pi]}$ y por lo tanto $\color{magenta}{\arccos(\cos(x-y))\neq x-y}$ . (No voy a repasar el segundo caso en detalle, a no ser que quieras que lo haga, pero ahí cometiste un error similar).

Y entonces, aquí está la parte más divertida. La respuesta del libro de texto tampoco es correcta, al menos no con el rango dado para $x$ . $$x\in\left[-\frac{3\pi}{4},\frac{\pi}{4}\right] \quad \text{and} \quad y\in\left(\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{2}\right) \quad \Longrightarrow \quad y-x\in\left(0,\frac{5\pi}{4}\right),$$ que no puede garantizar que $x$ está dentro de $\color{red}{[0,\pi]}$ . Así, para algunos valores de $x$ esto va a funcionar, pero para algunos no. Por ejemplo, si $x=-\frac{3\pi}{4}$ entonces $\arccos\left(\frac{3}{5}\cos x+\frac{4}{5}\sin x\right)\approx3$ , mientras que $\arctan\frac{4}{3}-x\approx3.3$ .

Answer 2

Dejemos que $cos \theta=3/5$

\= $arccos(cos\theta * cos x+sin\theta * sin x)$

\= $arccos( cos (\theta-x))$

\= $\theta-x$

\= $arc cos 3/5-x$