Si $\frac{a_n}{a_{n-1}}=\frac{3n-1}{3n}$ y $a_0=1$ , encontrar $\lim\limits_{n \to \infty}a_n$

Question

Problema

Supongamos que $\dfrac{a_n}{a_{n-1}}=\dfrac{3n-1}{3n}(n=1,2,\cdots)$ y $a_0=1$ . Encuentre $\lim\limits_{n \to \infty}a_n$ .

Intento

Desde \begin{align*} a_n=\frac{a_n}{a_0}=\prod_{k=1}^n\frac{a_k}{a_{k-1}}&=\prod_{k=1}^n\frac{3k-1}{3k}=\prod_{k=1}^n\left(1-\frac{1}{3k}\right)=\exp\left[\sum_{k=1}^n\ln\left(1-\frac{1}{3k}\right)\right], \end{align*} por lo que $$\lim_{n \to \infty}a_n=\exp\left[\sum_{k=1}^{\infty}\ln\left(1-\frac{1}{3k}\right)\right]. $$ Pero $\sum\limits_{k=1}^{\infty}\ln\left(1-\dfrac{1}{3k}\right)$ es divergente. Estoy confundido con este resultado.

Answer 1

Por lo tanto, usted ya sabe que $S_n=\sum_{k=1}^n\ln\left(1-\frac1{3k}\right)$ es arbitrariamente negativa para grandes $n$ (al menos espero que sea eso lo que quiere decir cuando dice $S_n$ diverge), es decir $$\lim_{n\to\infty}S_n=-\infty.$$ ¿Cuál debe ser el límite $\lim_{n\to\infty}e^{S_n}$ sea si $S_n\to-\infty$ como $n\to\infty$ ? Tal vez, algo así como el teorema del apretón: $$0<e^{S_n}\leq \frac{1}{1-S_n}\,,$$ desde $e^{x}\geq 1+x$ para todos $x\geq 0$ y enchufe $x=-S_n$ .