¿Existe un número infinito de soluciones complejas de $3^z+4^z=5^z$ ?

Question

¿Es cierto lo siguiente?

1 : Existe un número infinito de soluciones complejas de la ecuación $$3^z+4^z=5^z \tag{$ \estrella $}.$$

2 : Existe un número infinito de soluciones complejas $z$ de $(\star)$ tal que $2-\varepsilon\lt Re(z)\lt 2+\varepsilon$ para cualquier $\varepsilon\gt0.$

Motivación :

Es fácil demostrar que $x=2$ es la única solución real de $(\star)$ . Luego, me interesé por encontrar soluciones complejas de $(\star)$ . ¿Alguien puede ayudar?

Answer 1

Es una consecuencia del teorema de factorización de Hadamard que cualquier función entera de orden $1$ con un número finito de ceros es de la forma $e^{az}p(z)$ donde $a \in \mathbb{C}$ y $p(z)$ es un polinomio. La función $f(z) = 3^z + 4^z - 5^z$ es entero y de orden $1$ pero no es de esta forma, por lo que debe tener infinitos ceros.

Answer 2

Resumen

Para la ecuación $3^z + 4^z = 5^z$ ,

1. $z = 2$ es la única raíz cuando $\Re z \ge 2$ .
2. Hay infinitas raíces complejas dentro de la franja: $\;\;2 - \varepsilon < \Re z < 2$ .

Detalles

Sea $u, v$ sean dos números positivos tales que $u^2 + v^2 = 1$ . Sea $\mu = \frac{|\log u|}{2\pi}, \nu = \frac{|\log v|}{2\pi}$ y consideremos la siguiente ecuación polinómica de Dirichlet:

$$\varphi(z) = u^z + v^z = 1\tag{*1}$$

1. Por construcción, $z = 2$ es una raíz de $(*1)$ .

2. Para $\Re z > 2$ tenemos: $$|u^z+v^z| \le |u^z| + |v^z| = u^{\Re z} + v^{\Re z} < u^2 + v^2 = 1.$$ Es decir $(*1)$ no tiene ninguna raíz con $\Re z > 2$ .

3. Para $\Re z = 2$ , dejemos que $z = 2 + it$ tenemos: $$\begin{align} u^z+v^z = 1 \iff & u^2 e^{-2\pi\mu t i} + v^2 e^{-2\pi\nu t i} = 1\\ \iff & e^{-2\pi\mu t i} = e^{-2\pi\nu t i} = 1\\ \iff & \mu t, \nu t \in \mathbb{Z} \end{align}$$ Para $t \ne 0$ está claro que la última condición $\mu t, \nu t \in \mathbb{Z}$ es posible cuando y sólo cuando $\frac{\mu}{\nu}$ es un número racional. Esto significa:

   • si $\frac{\mu}{\nu} \in \mathbb{Q}$ , $(*1)$ tiene infinitas raíces en la recta $\Re z = 2$ .
   • si $\frac{\mu}{\nu }\notin \mathbb{Q}$ , $z = 2$ es la única raíz de $(*1)$ con $\Re z \ge 2$ .

Centrémonos ahora en el caso más interesante en el que $\frac{\mu}{\nu} \notin \mathbb{Q}$ . Sabemos que hay infinitos pares de números enteros positivos $p,q$ tal que $$\left|\frac{\mu}{\nu} - \frac{p}{q}\right| < \frac{1}{q^2}$$

Para cualquier par de números enteros $p, q$ , dejemos que $t_{\mu} = \frac{p}{\mu}$ , $t_{\nu} = \frac{q}{\nu}$ , $t_{<} = \min(t_\mu,t_\nu)$ y $t_{>} = \max(t_\mu,t_\nu)$ . Cuando $t$ varía entre $t_{<}$ y $t_{>}$ tenemos

$$\begin{align} & |\mu t - p | \le |\mu t_{\nu} - p| = | \frac{\mu}{\nu} q - p | < \frac{1}{q}\\ & |\nu t - q | \le |\nu t_{\mu} - q| = | \frac{\nu}{\mu} p - q | < \frac{\nu}{\mu q}\tag{*2} \end{align}$$

Sea $K = \max(\frac{\nu}{\mu},1)$ una consecuencia de $(*2)$ es cuando $q > 4K$ los ángulos de los dos arcos circulares siguientes sobre el círculo unitario

$$ C_\mu = \Big\{ \omega = e^{-2\pi\mu t i} : t \in [t_<, t_>]\Big\} \quad\text{ and }\quad C_\nu = \Big\{ \omega = e^{-2\pi\nu t i} : t \in [t_<, t_>]\Big\} $$ son menores que $\frac{\pi}{2}$ .

Desde $C_{\mu}$ toca $1$ en y sólo en $t = t_\mu$ y $C_{\nu}$ toca $1$ en y sólo en $t = t_\nu$ , Uno de $C_{\mu}$ o $C_{\nu}$ ( $C_\mu$ si $t_\mu > t_\nu$ , $C_\nu$ de lo contrario ) se encuentra completamente en el cuadrante $\Re \omega > 0, \Im \omega \ge 0$ mientras que el otro se encuentra completamente en el cuadrante $\Re \omega > 0, \Im \omega \le 0$ .

Desde $C_\mu$ y $C_\nu$ toca $1$ en diferentes $t$ podemos deducir $0 < \Re \varphi(2+it) < 1$ para $t \in (t_<, t_>)$ . Además, no es difícil ver $\Im \varphi(2 + it_<) > 0$ y $\Im \varphi(2 + it_>) < 0$ .

Sea $z_< = 2 + i t_<$ , $z_> = 2 + i t_>$ y $m = \min(\mu,\nu)$ . Además de $q > 4K$ supongamos que hemos elegido un $q$ tan grande que $$e^{2\pi m\varepsilon}\cos(\frac{2\pi K}{q}) > 1.$$ Sea $\mathscr{R}$ sea el contorno rectangular que une $z_<$ , $z_>$ , $z_>\!-\varepsilon$ , $z_<\!-\varepsilon$ y luego de vuelta a $z$ . Veremos qué ocurre con $\omega = \varphi(z) - 1$ cuando $z$ pasea $\mathscr{R}$ una vez.

1. A lo largo del segmento de línea $[z_<,z_>]$ La discusión anterior implica $\omega$ se mueve desde el cuadrante $\Re \omega < 0, \Im \omega > 0$ a el cuadrante $\Re \omega < 0, \Im \omega < 0$ .

2. A lo largo del segmento de línea $[z_>, z_>\!-\varepsilon]$ es fácil ver $\Im\omega$ no cambia de signo y permanece $< 0$ todo el tiempo.

3. A lo largo del segmento de línea $[z_>\!-\varepsilon, z_<\!-\varepsilon]$ tenemos $$\Re\omega \ge u^2 e^{2\pi\mu\varepsilon}\cos(\frac{2\pi}{q}) + v^2 e^{2\pi\nu\varepsilon}\cos(\frac{2\pi\nu}{\mu q}) - 1 \ge e^{2\pi m\varepsilon}\cos(\frac{2\pi K}{q}) - 1 > 0 $$

4. A lo largo del segmento de línea $[z_<\!-\varepsilon, z_<]$ , $\Im\omega$ no vuelve a cambiar de signo y permanece $> 0$ todo el tiempo.

Combinando estas 4 observaciones, podemos concluir cuando $z$ pasea $\mathscr{R}$ una vez, $\omega$ da una vuelta alrededor del origen en el sentido contrario a las agujas del reloj. De ello se deduce $\varphi(z) = 1$ tiene una raíz dentro de $\mathscr{R}$ . Puesto que hay infinitas $q$ un se puede elegir, concluimos $\varphi(z) = 1$ tiene infinitas raíces en la franja $2 - \varepsilon < \Re z < 2$ .

Para responder a la pregunta original $u = (3/5)^2$ y $v = (4/5)^2$ . Se sabe que $\log 2$ , $\log 3$ y $\log 5$ son linealmente independientes sobre $\mathbb{Q}$ . Es decir $\frac{\mu}{\nu} = \frac{\log u}{\log v} = \frac{\log 5 - \log 3}{\log 5 - 2\log 2} \notin \mathbb{Q}$ . De lo anterior se deducen inmediatamente las conclusiones del resumen.

Answer 3

No es una respuesta, pero puede que le interese ver el diagrama de fase de $f(z) = 3^z+4^z-5^z$ . Puede hacerlo aquí: http://www.math.osu.edu/~fowler.291/phase/ . Puedes alejar la imagen con una rueda de desplazamiento o con dos dedos en un panel táctil.

Desde luego, ¡parece que hay infinitos ceros! Editaré esta respuesta si se me ocurre alguna forma de demostrarlo.