estimar el error máximo de la aproximación de taylor de $\ln(x)$

Question

Encontrar el límite de error utilizando el resto de Lagrange: $$\ln(x)\approx (x-1)-\frac{(x-1)^2}{2}+\frac{(x-1)^3}{3}, |x-1|<\dfrac{1}{64}$$

Mi intento: \begin{align} R_3(x)&=\dfrac{f^{(4)}(c)}{4!}(x-1)^4\\ f^{4}(c)&=\dfrac{-6}{(x-1)^4}\\ \implies R_3(x)&=\dfrac{-6}{4!}\dfrac{(x-1)^4}{(c-1)^4}\\ \implies |R_3(x)|&\leq \dfrac{6}{4!}\dfrac{(\frac{1}{64})^4}{(\frac{-1}{64})^4}=.25 \end{align} ¿Es esto correcto?

Answer 1

Tenga en cuenta que,

\begin{equation} f(x) = log(x) \implies f^{(4)}(x) = \frac{-6}{x^4} \end{equation}

Por lo tanto, \begin{equation} R_3(x) = -\frac{6}{4!c^4}(x-1)^4\quad; \quad \text{where } c \text{ is in between 1 and x} \end{equation}

Desde $c$ depende de $x$ primero encontrar un límite superior como;

\begin{equation} |R_3(x)| \leq \begin{cases} \frac{6}{4!}(x-1)^4 \quad &if \quad x>1\\ \frac{6}{4!x^4}(x-1)^4 \quad &if \quad x<1 \end{cases} \end{equation}

Ahora podemos acotar para $|x-1|<1/64$ ,

\begin{equation} |R_3(x)| \leq \begin{cases} \frac{6}{4!64^4} \quad &if \quad x>1\\ \frac{6}{4!(1-1/64)^464^4} \quad &if \quad x<1 \end{cases} \end{equation}

Este es un gráfico realizado por wolframalpha.com . Se puede ver fácilmente que necesitamos dos límites diferentes para $x<1$ y $x>1$ . Si necesita un solo enlace, $x<1$ el caso funcionará.