Centroide restringido de un triángulo más un semicírculo

Question

Un triángulo isósceles $T$ tiene base $2r$ y la altitud $h$ . La base de $T$ coincide con el diámetro de un disco semicircular $D$ de radio $r$ .

Tengo que encontrar la relación que debe existir entre $r$ y $h$ para que el centroide de $T\cup D$ se encuentra dentro del triángulo.

Sin pérdida de generalidad, supuse que el semicírculo tiene su centro en el origen y el triángulo isósceles está justo encima del $x$ -eje.

La respuesta es $h>r\sqrt{2}$ pero sigo recibiendo $\pi$ y no entiendo cómo $\pi$ se cancela.

Answer 1

El centro de $T$ es $(0, \frac13 h)$ . El centro de $D$ es $(0, -\frac{4r}{3\pi})$ (nota el $\pi$ en el denominador). Por lo tanto, el centroide de $T \cup D$ es:

$$ C_x = \frac{\sum C_{i_x} A_i}{\sum A_i}, C_y = \frac{\sum C_{i_y} A_i}{\sum A_i} $$

que da:

$$ C_x = 0 $$ $$ C_y = \frac{\left(\frac 13 h\right) hr + \left(\frac12 \pi r^2\right)\left(-\frac{4r}{3\pi}\right)}{hr + \frac12 \pi r^2} $$

y $C_y > 0$ sólo si $h > r\sqrt{2}$ como usted dice.

Answer 2

Suponiendo que el centro del semidisco está en el origen y el vértice del triángulo se encuentra en $(0,h)$ tenemos que el centro del triángulo se encuentra en $\left(0,\frac{h}{3}\right)$ mientras que el centro del semidisco se encuentra en $\left(0,-\frac{4r}{3\pi}\right)$ . Como el área del triángulo es $rh$ mientras que el área del medio disco es $\frac{\pi}{2}r^2$ tenemos que el centroide de $T\cup D$ se encuentra por encima del $x$ -eje si: $$\frac{h}{3}\cdot(rh)>\frac{4r}{3\pi}\cdot\left(\frac{\pi}{2}r^2\right)$$ es decir, si $h> r\sqrt{2}$ .